高考专题突破四 高考中的立体几何问题
【考点自测】
1．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC的中点，E为A1C1的中点，则DE与平面A1B1BA的位置关系为( ) A．相交 C．垂直相交 答案 B
解析 如图取B1C1的中点为F，连接EF，DF， 则EF∥A1B1，DF∥B1B， 且EF∩DF＝F，A1B1∩B1B＝B1， ∴平面EFD∥平面A1B1BA， ∴DE∥平面A1B1BA.
2．设x，y，z是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：
①x，y，z均为直线；②x，y是直线，z是平面；③z是直线，x，y是平面；④x，y，z均为平面．
其中使“x⊥z且y⊥z?x∥y”为真命题的是( ) A．③④ B．①③ C．②③ D．①② 答案 C
解析 由正方体模型可知①④为假命题；由线面垂直的性质定理可知②③为真命题． 3．(2018届辽宁凌源二中联考)已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为( )
B．平行 D．不确定
πA．2＋
3π
C．2＋
6
1B.＋π 22D.＋π 3
答案 D
解析 结合三视图可知，该几何体是一个半圆柱与一个底面是等腰直角三角形的三棱锥组成1112
的组合体，其体积为V＝××2×1×2＋×π×12×2＝＋π，
3223故选D.
4．(2017·天津滨海新区模拟)如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：
①BD⊥AC；
②△BAC是等边三角形； ③三棱锥D－ABC是正三棱锥； ④平面ADC⊥平面ABC. 其中正确的是( ) A．①②④ C．②③④ 答案 B
解析 由题意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正确；由①知④错．故选B.
5．(2017·沈阳调研)设α，β，γ是三个平面，a，b是两条不同的直线，有下列三个条件： ①a∥γ，b?β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a?γ.如果命题“α∩β＝a，b?γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________．(把所有正确的序号填上) 答案 ①或③
解析 由线面平行的性质定理可知，①正确；当b∥β，a?γ时，a和b在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.
B．①②③ D．①③④
题型一 求空间几何体的表面积与体积
例1 (2018届衡水联考)如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1＝2，点D为AB的中点． (1)证明：AC1∥平面B1CD； (2)求三棱锥A1—CDB1的体积．
(1)证明 连接BC1交B1C于点O，连接OD.
在三棱柱ABC—A1B1C1中，四边形BCC1B1是平行四边形， ∴点O是BC1的中点．
∵点D为AB的中点，∴OD∥AC1. 又OD?平面B1CD，AC1?平面B1CD， ∴AC1∥平面B1CD.
(2)解 ∵AC＝BC，AD＝BD，∴CD⊥AB. 在三棱柱ABC—A1B1C1中，
由AA1⊥平面ABC，得平面ABB1A1⊥平面ABC. 又平面ABB1A1∩平面ABC＝AB，CD?平面ABC， ∴CD⊥平面ABB1A1， ∵AC⊥BC，AC＝BC＝2， ∴AB＝A1B1＝22，CD＝2，
?V三棱锥A1—CDB1＝V三棱锥C—A1DB1
114＝××2×22×2＝. 323
思维升华 (1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积．
(2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何
体，再利用公式求解．
(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．
跟踪训练1 (2018·乌鲁木齐质检)正三棱锥的高为1，底面边长为26，内有一个球与它的四个面都相切(如图)．求：
(1)这个正三棱锥的表面积；
(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积．
13
解 (1)底面正三角形中心到一边的距离为××26＝2，则正棱锥侧面的斜高为
3212＋?2?2＝3，
1
∴S侧＝3××26×3＝92，
213
∴S表＝S侧＋S底＝92＋××(26)2
22＝92＋63.
(2)设正三棱锥P－ABC的内切球球心为O，连接OP，OA，OB，OC，而O点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r.
∴V三棱锥P－ABC＝V三棱锥O－PAB＋V三棱锥O－PBC＋V三棱锥O－PAC＋V三棱锥O－ABC 111＝S侧·r＋S△ABC·r＝S表·r 333＝(32＋23)r.
113
又VP－ABC＝×××(26)2×1＝23，
322∴(32＋23)r＝23，
23?32－23?
得r＝＝＝6－2.
32＋2318－12
23
∴S内切球＝4π(6－2)2＝(40－166)π.
48
V内切球＝π(6－2)3＝(96－22)π.
33
题型二 空间点、线、面的位置关系
例2 (2017·广州五校联考)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，PA＝PD，∠BAD＝60°，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上．
(1)求证：AD⊥平面PBE；
(2)若Q是PC的中点，求证：PA∥平面BDQ； CP
(3)若VP－BCDE＝2VQ－ABCD，试求的值．
CQ
(1)证明 由E是AD的中点，PA＝PD可得AD⊥PE. 因为底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°， 所以AB＝BD，所以AD⊥BE， 又PE∩BE＝E，PE，BE?平面PBE， 所以AD⊥平面PBE.
(2)证明 连接AC，交BD于点O，连接OQ.
因为O是AC的中点，Q是PC的中点， 所以OQ∥PA，
又PA?平面BDQ，OQ?平面BDQ， 所以PA∥平面BDQ.
(3)解 设四棱锥P－BCDE，Q－ABCD的高分别为h1，h2. 1
所以V四棱锥P－BCDE＝S四边形BCDEh1，
3
1
V四棱锥Q－ABCD＝S四边形ABCDh2.
3
3
又VP－BCDE＝2VQ－ABCD，且S四边形BCDE＝S四边形ABCD，
4CPh18所以＝＝.
CQh23
思维升华 (1)平行问题的转化
利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化解决平行关系的判定问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而应用性质定理时，其顺序正好相反．在实际的解题过程中，判定定理和性质定理一般要相互结合，灵活运用． (2)垂直问题的转化
在空间垂直关系中，线面垂直是核心，已知线面垂直，既可为证明线线垂直提供依据，又可为利用判定定理证明面面垂直作好铺垫．应用面面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而可转化为线线垂直问题．
跟踪训练2 如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．
求证：(1)平面EFG∥平面ABC； (2)BC⊥SA.
证明 (1)由AS＝AB，AF⊥SB知F为SB的中点，