【拓展3】荷兰科学家惠更斯在物体碰撞问题的研究中做出了突出的贡献.惠更斯所做的碰撞实验可简化为：三个质量分别为m1、m2、m3的小球，半径相同，并排悬挂在长度均为L的三根平行绳子上，彼此相互接触.现把质量为m1的小球拉开，上升到H高度处释放，如图所示.已知各球碰撞时同时满足动量守恒定律和机械能守恒定律，且碰撞时间极短，H远小于L，不计空气阻力.求：
(1)若三个球的质量相同，则发生碰撞的两球速度交换，此时系统的运动周期为多少？ (2)若三个球的质量不同，要使球1与球2、球2与球3相碰之后，三个球具有相同的动量，m1∶m2∶m3应为多少？
【解析】(1)球1与球2、球2与球3碰撞后速度互换，故球3以球1碰球2前瞬间的速度开始上升到H高处，然后摆回来与球2碰撞，球2再与球1碰撞，使球1上升到H高处.此后系统做周期性运动，则有
T1＝T3＝2π
L1
，T＝(T1＋T3) g2
L g
由此可知系统的运动周期为T＝2π
(2)由题意知三球碰后的动量均相同，设为p，则有 p2
Ek＝
2m
球2在与球3碰前具有动量2p，根据机械能守恒定律，对于球2与球3碰撞的情况应有 (2p)2p2p2
＝＋，得m2∶m3＝3∶1 2m22m22m3
球1与球2碰前的动量为3p，根据机械能守恒定律有 (3p)2p2(2p)2
＝＋，得m1∶m2＝2∶1 2m12m12m2
从而可得m1∶m2∶m3＝6∶3∶1 易错门诊
【例4】光滑的水平面上有A、B两辆小车，mB＝1 kg，原来静止.小车A连同支架的质量为mA＝1 kg，现将小球C用长为L＝0.2 m的细线
悬于支架顶端，mC＝0.5 kg.开始时A车与C球以v0＝4 m/s的共同速度冲向B车，如图所示.若A、B发生正碰后粘在一起，不计空气阻力，取g＝10 m/s2.试求细线所受的最大拉力.
【错解】小车A与小车B相碰的瞬间，A、B组成的系统动量守恒，C保持原来的速度v0
不变.C做圆周运动，在最低点时绳子的拉力最大，由牛顿第二定律可得：
mCv2CF－mCg＝，即
L
mCv20.5×42CF＝mCg＋＝(0.5×10) N＋ N＝45 N
L0.2
【错因】上面的解法中虽然弄清了A、B碰撞的瞬间C保持原来的速度不变，但求拉力时
对C的线速度理解错误，质点相对于圆心(悬点)的速度不是v0，而是v相＝v0－vAB
【正解】小车A与小车B相碰的瞬间，C的速度保持v0不变，A、B组成的系统动量守恒： mAv0＝(mA＋mB)vAB 解得vAB＝
mAv01×4
＝ m/s＝2 m/s
mA＋mB1＋1
方向与v0相同.
A、B结合成整体的瞬间，C的速度仍为v0，所以C相对于A、B整体的相对速度为v＝v0－vAB＝2 m/s
A、B碰后，C相对于悬点做圆周运动，在最低点时绳子的拉力最大，由牛顿第二定律可mCv2相
得F－mCg＝，即
L
mCv2相0.5×22
F＝mCg＋＝(0.5×10) N＋ N＝15 N
L0.2
v2
【思维提升】在用公式F向＝m求解向心力时，对v选取正确的参考系，是解此题的关键.
r
相