欧拉公式OI^2=R(R-2r)的证明
命题：设三角形ABC外接圆O的半径为R，内切圆I的半径为r,则OI^2=R(R-2r)
证明：
如上图，设∠IAB=α， ∠IBA=β
连结I和A，并延长AI交圆O于点D；连结BD和CD；连结I和O，设直线OI交圆O于点E和F,设OI=d
第一步：求ID和IA的长度
显然：∠DBC=∠DAC=α，∠DBI=α+β=∠DIB，所以，BD=ID 因为△ABD内接于圆O，所以BD=2Rsinα，所以ID=2Rsinα 而IA?
第二步：求IE和IF的长度
显然，IE=R+d,IF=R-d
第三步：寻找等式
因为EF和AD都是圆O的弦，并且两弦相交于点I 所以有：IA*ID＝IE*IF 即：
2Rsin??2GIsin??rsin?
rsin??(R?d)*(R?d)，所以d2?R*(R?2r)
即：IO
?R*(R?2r)
欧拉不等式R≥2r的证明
由欧拉公式OI^2=R(R-2r)可知，OI^2≥０,所以R(R-2r) ≥０，所以R≥2r