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抛物线练习及答案
1、已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之
和取得最小值时，点P的坐标为 。（
1,－1） 42、已知点P是抛物线y2?2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的
距离之和的最小值为 。17 23、直线y?x?3与抛物线y2?4x交于A,B两点，过A,B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P,Q，则梯形APQB的面积为 。48
????4、设O是坐标原点，F是抛物线y?2px(p?0)的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正
2????向的夹角为60，则OA为 。
?5、抛物线y2?4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是 。43 6、已知抛物线C:y2?8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且AK?则?AFK的面积为 。8
2AF，
x2y2??1，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程7、已知双曲线45为 。
8、在平面直角坐标系xoy中，有一定点A(2,1),若线段OA的垂直平分线过抛物线
y2?2px(p?0)则该抛物线的方程是 。
9、在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2，4)，则该抛物线的方程是 。y?8x
10、抛物线y??x上的点到直线4x?3y?8?0距离的最小值是 。224 311、已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22的最小值是 。32
12、若曲线y＝|x|＋1与直线y＝kx＋b没有公共点，则k、b分别应满足的条件是 。k=0,-1 13、已知抛物线y-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于（ ）C A.3 B.4 C.32 D.42 Page 1 of 12 地址：肇嘉浜路91号 电话：64047162 2 龙文教育 教师一对一 高中教研组 向茂华 14、已知抛物线y2?2px(p?0)的焦点为F，点P，y1)，P2(x2，y2)，P，y3)在抛物线1(x13(x3上，且2x2?x1?x3， 则有（ ）Ｃ Ａ．FP1?FP2?FP3 Ｂ．FP1?FP2Ｄ．FP2222?FP32 Ｃ．2FP2?FP1?FP3?FP·FP3 115、已知点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2?0)是抛物线y2?2px(p?0)上的两个动点,O是坐标原点, ????????????????????????向量OA,OB满足OA?OB?OA?OB.设圆C的方程为x2?y2?(x1?x2)x?(y1?y2)y?0。 (1) 证明线段AB是圆C的直径; 25时，求p的值。 5????????????????????????2????????2解： (1)证明1: ?OA?OB?OA?OB,?(OA?OB)?(OA?OB)， (2)当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为 ????????????2????????????2????2????????????2 OA?2OA?OB?OB?OA?2OA?OB?OB，整理得: OA?OB?0，?x1?x2?y1?y2?0，????????设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则MA?MB?0， 即(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0，整理得:x2?y2?(x1?x2)x?(y1?y2)y?0， 故线段AB是圆C的直径。 ????????????????????????2????????2证明2: ?OA?OB?OA?OB,?(OA?OB)?(OA?OB)， ????????????2????????????2????2????????????2OA?2OA?OB?OB?OA?2OA?OB?OB，整理得: OA?OB?0， ?x1?x2?y1?y2?0……..(1) 设(x,y)是以线段AB为直径的圆上则即 y?y2y?y1???1(x?x1,x?x2)， x?x2x?x1去分母得: (x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0， 点(x1,y1),(x1,y2),(x2,y1)(x2,y2)满足上方程,展开并将(1)代入得: x2?y2?(x1?x2)x?(y1?y2)y?0， 故线段AB是圆C的直径。 ????????????????????????2????????2证明3: ?OA?OB?OA?OB,?(OA?OB)?(OA?OB)， ????2????????????2????2????????????2OA?2OA?OB?OB?OA?2OA?OB?OB， Page 2 of 12 地址：肇嘉浜路91号 电话：64047162 龙文教育 教师一对一 高中教研组 向茂华 ????????整理得: OA?OB?0，?x1?x2?y1?y2?0……(1) 以线段AB为直径的圆的方程为 (x?x1?x22y?y221)?(y?1)?[(x1?x2)2?(y1?y2)2]， 224展开并将(1)代入得:x2?y2?(x1?x2)x?(y1?y2)y?0， 故线段AB是圆C的直径 (2)解法1:设圆C的圆心为C(x,y),则 x1?x2?x???2 ?y?y2?y?1??2y12y22，又因x1?x2?y1?y2?0， ?y?2px1,y2?2px2(p?0)，?x1x2?24p212y12y222，，， ?x1?x2??y1?y2，??y1?y2??x?x?0,?y?y?0?y?y??4p12121224px?x1?x2yy111?(y12?y22)?(y12?y22?2y1y2)?12?(y2?2p2)， 24p4p4pp22所以圆心的轨迹方程为y?px?2p， 设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则 12(y?2p2)?2y||x?2y||y2?2py?2p2||(y?p)2?p2|pd???， ?555p5p|当y=p时,d有最小值pp25,由题设得，?p?2. ?555解法2: 设圆C的圆心为C(x,y),则 x1?x2?x???2 ??y?y1?y2??2y12y22，又因x1?x2?y1?y2?0， ?x1?x2??y1?y2，?x1x2??y?2px1,y2?2px2(p?0)， 4p2212y12y222，，， ?x?x?0,?y?y?0??y1?y2??y?y??4p12121224pPage 3 of 12 地址：肇嘉浜路91号 电话：64047162 龙文教育 教师一对一 高中教研组 向茂华 x?x1?x2yy111?(y12?y22)?(y12?y22?2y1y2)?12?(y2?2p2)， 24p4p4pp所以圆心的轨迹方程为y2?px?2p2， 设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为共点, 25,则m??2，因为x-2y+2=0与y2?px?2p2无公5所以当x-2y-2=0与y2?px?2p2仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0的距离最小值为25 5?x?2y?2?0?(2) ?22y?px?2p?(3)?将(2)代入(3)得y2?2py?2p2?2p?0，???4p2?4(2p2?2p)?0，解法3: 设圆C的圆心为C(x,y),则 ?p?0?p?2. x1?x2?x???2 ??y?y1?y2??2圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则 x1?x2?(y1?y2)|2d? 5|y12y22，又因x1?x2?y1?y2?0， ?x1?x2??y1?y2，?x1x2??y?2px1,y2?2px2(p?0)，24p212y12y22，?x1?x2?0,?y1?y2?0，?y1?y2??4p2， ??y1?y2?24p1(y12?y22)?(y1?y2)||y12?y22?2y1y2?4p(y1?y2)?8p2|4p?d??545p|(y1?y2?2p)2?4p2， ?45p当y1?y2?2p时,d有最小值pp25,由题设得，?p?2. ?555Page 4 of 12 地址：肇嘉浜路91号 电话：64047162 龙文教育 教师一对一 高中教研组 向茂华 x2y2?1,抛物线C2:(y?m)2?2px(p?0),且C1、C2的公共弦AB过椭圆C116、已知椭圆C1:?43的右焦点. (1)当AB⊥x轴时,求m、p的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上； (2)是否存在m、p的值，使抛物线C2的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的m、p的值；若不存在，请说明理由. 解：（1）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m＝0，直线AB的方程为x=1，从而点A的坐标为（1，点坐标为（ 3399）或（1，－）. 因为点A在抛物线上，所以?2p，即p?. 此时C2的焦22489，0），该焦点不在直线AB上. 16（2）解法一 当C2的焦点在AB时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y?k(x?1). ?y?k(x?1)?由?x2y2消去y得(3?4k2)x2?8k2x?4k2?12?0. ……① ??1?43?y A O B x 设A、B的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）, 则x1,x2是方程①的两根，x1＋x2＝ 8k23?4k2. 因为AB既是过C1的右焦点的弦，又是过C2的焦点的弦， 111所以AB?(2?x1)?(2?x2)?4?(x1?x2)，且 222pp)?(x2?)?x1?x2?p. 221从而x1?x2?p?4?(x1?x2). 2AB?(x1?4?6p8k24?6p?所以x1?x2?，即. 33?4k23解得k2?6,即k??6. 21因为C2的焦点F?(,m)在直线y?k(x?1)上，所以m??k. 33即m?当m?66或m??. 336时，直线AB的方程为y??6(x?1)； 36时，直线AB的方程为y?6(x?1). 3当m??解法二 当C2的焦点在AB时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程 为y?k(x?1). 8?28?(y?m)?x2由?3消去y得(kx?k?m)?x. ……① 3?y?k(x?1)?Page 5 of 12 地址：肇嘉浜路91号 电话：64047162