情景再现
8．以△ABC的三边为边向形外作正方形ABDE、BCFG、ACHK， 设L、M、N分别为DE、FG、HK的中点．
D求证：AM、BN、CL交于一点．
9．如图，已知两个半径不相等的圆⊙O1，⊙O2相交于M、N两点， ⊙O1，⊙O2分别与⊙O内切于点S、T，
求证：OM⊥MN的充要条件是S、N、T三点共线．
LEKARQBPCNHGMFO O 1M O 2 N T
S
10．给出锐角△ABC，以AB为直径的圆与AB边的高CC′及其延长线交于M，N.以AC为直径的圆与AC边的高BB′及其延长线将于P，Q.求证：M，N，P，Q四点共圆. (第19届美国数学奥林匹克)
A N
Q
C ′ B′
K P M B C
习题20
1．选择题：
(1) 如图，在四边形ABCD的对角线的延长线上取一点P，过P作两条直线分别交AB、BC、CD、
M ARBQCNDMA D DA于点R、Q、N、M，记t＝···，则t的值
RBQCNDMAR N A．t>1 B．t＝1 C．t<1 D．t的值不定 B Q C
P
A (2)如图，在不等边三角形ABC内取异于内心的点P，连接PA、PB、PC，
把角A、B、C分成α、α’、β、、γ、γ’， ??'记M＝sinαsinβsinγ，N＝sinα’sinβ’sinγ’．则 P?'?A．M>N B．M＝N C．M D 2．填空题： ABDFDE (1)如图，若BC=FB=2，则EC= ． - 6 - EFABC(2)三角形三个旁切圆与三角形三边BC、CA、AB切于点D、E、F， AFBDCE则FB·DC·EA= ． 3．(Desargues定理)已知直线AA1、BB1、CC1相交于点O， 直线AB与A1B1交于点X，BC与B1C1交于点Y，CA与C1A1交于点Z， 求证：X、Y、Z共线． O X B A A1 C C1 B 1 Z BDA??CIa AR Y R'N'4．已知△ABC外有三点M、N、R， 且∠BAR＝∠CAN＝α，∠CBM＝∠ABR＝β， ??∠ACN＝∠BCM＝γ， CB??M'证明：AM、BN、CR三线交于一点． M 5．设P为正方形ABCD的边CD上任一点，过A、D、P作 一圆 A 交BD于Q，过C、P、Q作一圆交BD于R， R 求证：A、P、R三点共线． Q B A 6．如图，两个全等三角形ABC与A?B?C?，它们的对应边也互相平行， 因而两个三角形内部的公共部分构成一个六边形， C' U V 求证：此六边形的三条对角线UX、VY、WZ交于一点． Z W B Y X C A' I7．⊙O1，⊙O2外切于点P，QR为两圆的公切线， 其中Q、R分别为⊙O1，⊙O2上的切点， 过Q且垂直于QO2的直线与过R且垂直于RO1的直线交于点I， RIN⊥O1O2，垂足为N，IN与QR交于点M， MQ证明：PM、RO1、QO2三条直线交于一点． O2O1NP ??ND P C B' - 7 - 8.设ΔABC为锐角三角形，高BE交以AC为直径的圆于点P、Q， N 高CF交以AB为直径的圆于点M、N， A 求证：P、Q、M、N四点共圆． F Q H E P M B D C 9. 凸四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直并交于点E， 求证：点E关于此四边形的四边的对称点P、Q、R、S共圆． 10. 四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，对角线交于点P，PF⊥AB于E，PF⊥BC于F，PG⊥CD于G，PH⊥DA于H，又EP、FP、GP、HP的延长线分别交CD、DA、AB、BC于点E?、F?、G?、H?，求证：E?、F?、G?、H?四点与E、F、G、H八点共圆． A G E 11. 以锐角⊿ABC的边BC为直径作圆交高AD于G， F 交AC、AB于E、F，GK为直径，连KE、KF交BC于M、N， 求证：BN=CM． B D N O M 12．已知：如图，I为ΔABC的内心， 作直线IP、IR，使∠PIA=∠RIA=α(0<α< C 1∠BAC)， 2K IP、IR分别交直线AB、AC于P，Q；R，S． （1）求证：P、Q、R、S四点共圆． （2）若α=30?，E、F分别为点I关于AB、AC的对称点，直线BE、CF交于点D， 求证：E、F、F在⊙PQRS上． D Q S E A F P R I C B A本节“情景再现”解答 1．证明：设F为⊙I切AB的切点，延长DI交⊙I于K， PQFK连AK延长交BC于G，过K作⊙I的切线PQ． M由梯形PKDB可证PK·BD=IF2； I(连PI、BI，则PI、BI平分?QPB与?PBD， 于是⊿PIB为Rt.⊿,IF为其直角边上的高) BC2NDG同理，QK·CD=IF． - 8 - PKCD ∴ PK·BD=QK·CD；?QK=BD， PKBGCDBG 又，PQ∥BC?QK=GC， ∴BD=GC，?CD=BG， ∴ N是DG中点． 又：M为AD中点N为GD中点?MN∥AG． I为KD中点，N为GD中点?IN∥KG． ∴ M、I、N三点共线． 说明 由于BG=CD=p－c，故点G是⊿ABC的在?A内部的旁切圆与BC的切点；证明三点共线常证明过同一点的两直线平行于同一直线． RC2. 提示：根据中垂线的性质很容易证明三条中垂线交于一点， QBA可以用构造法证明三条高所在直线交于一点； 用Ceva定理很容易证明三条中线交于一点； PO直接根据角平分线的性质很容易证明三条角平分线交于一点． 3. 解 连OP、OQ，PB．∵∠POQ=∠QOR=40?． ⌒C为QR中点，∴∠QOC=20?，∠POC=60?．ΔPOC为等边三角形． ∵ B为半径OC中点，A为PQ中点，∴∠PAO=∠PBO=90?． ∴ P、A、B、O四点共圆．∴ ∠OAB=∠OPB=30?． ·O上，则∠AMC=60°=∠ABC=∠ACB， 4.证明：如图，连AC，DF，DE．因为M在○有△AMC∽△ACF，得 MCCFCF??． MACACDM F B E O 又因为∠AMC=BAC，所以△AMC∽△EAC，得 A D C MCACADCFAD???．所以， MAAEAECDAE又∠BAD=∠BCD=120°，知△CFD∽△ADE． 所以∠ADE=∠DFB．因为AD∥BC， 所以∠ADF=∠DFB=∠ADE，于是F，E，D三点共线． 5．证明 连DO，AR，EO，AQ． 11 ∵ ∠ADR＝(AR＋BP)，∠AOR＝(AR＋CP)， 22 ∴ ∠ADR＝∠AOR，∴ A、O、D、R四点共圆． ∴ ∠AOD＋∠ARD＝180?， 同理，∠AQE＋∠AOE＝180?， 而∠ARP＋∠AQP＝180?， ∴ ∠AOD＋∠AOE＝180?． ∴ D、O、E三点共线． ∵ ∠ADO＝∠ARO＝∠ABC， ∴ DE∥BC． 6．证明 延长HA到K，使AK＝BC，连BK、CK． 则可证△BAK≌△DNC，△CAK≌△FCB． ∵ AK⊥BC．∴ CD⊥BK，BF⊥CK， 即可把KH、CD、BF看成△KBC的三条高所在直线， 从而此三线共点． - 9 - RAQDOBECPKEDAGFBHC A7. 证明 取EG的中点M，连BM、FM、CM，则FM⊥EG． EE'∵ ∠EBF=∠EMF=90?，∴ B、F、M、E四点共圆． ∴ ∠MBF=∠MEF=60?．同理∠MCF=60?． 即ΔMBC为正三角形．点M为定点． ∴ EG的中点就是正ΔBCM的顶点M， B同理E'G'的中点也是ΔBCM的顶点M． 即EG与E'G'互相平分．∴ EE'GG'是平行四边形． 8．证明 设AM、BN、CL分别交BC、CA、AB于P、Q、R． 易知，∠CBM＝∠BCM＝∠QCN＝∠QAN＝∠LAR＝∠LBR＝θ． BPS?ABMAB·BMsin(B+θ)ABsin(B+θ)==PCS?ACMAC·CMsin(C+θ)=ACsin(C+θ)； CQBCsin(C+θ)ARACsin(A+θ)同理，=；=． QAABsin(A+θ)RBBCsin(B+θ)BPCQAR 三式相乘即得PC·QA·RB=1， DMDG'GFF'C ELKARQBPCNH由Ceva定理的逆定理知AM、BN、CL交于一点． G9．证明 (1)充分性：若S、N、T三点共线，证明OM⊥MN 连O1O2，O1N，O1M，O2N，O2M． ∵ OS＝OT，O1N＝O1S，O2N＝O2T， ∴ △OST、△O1SN与△O2NT都是等腰三角形． ∴ O1NO2O为平行四边形． O∴ O1N＝OO2，OO1＝O2N，但O1N＝O1M，O2N＝O2M， ∴ OO1＝MO2，OO2＝MO1． O1∴ △OO1M≌△MO2O， ∴ O1O2∥OM， ∵ O1O2⊥MN， ∴ ∠OMN＝90?． (2)必要性：若OM⊥MN，证明S、N、T三点共线．分别连SN、NT， 设⊙O、⊙O1、⊙O2的半径分别为r、r1、、r2，OM＝a． ∵ O1O2⊥MN，OM⊥MN，∴ O1O2∥OM． ∵ △OMO1与△OMO2的面积相等．有一边公共，且周长都等于a＋r(＝2p)． ∴ p(p－a)(p－r1)(p－(r－r1))＝p(p－a)(p－r2)((p－(r－r2))． 化简得 (r1－r2)(r－r1－r2)＝0，由r1≠r2，得r＝r1＋r2． 于是OO1＝O2M＝O2N，OO2＝O1M＝O1N． ∴ OO1NO2为平行四边形．∠O1OO2＝∠O1NO2＝∠NO1S＝∠NO2T． MFMO2NST11 在等腰△O1SN中，∠SNO1＝(180?－∠O1OO2)，∠TNO2＝(180?－∠O1OO2)． 22∴ ∠SNO1＋∠O1NO2＋∠O2NT＝180?．即S、N、T三点共线． AN10．分析：设PQ，MN交于K点，连接AP，AM. Q欲证M，N，P，Q四点共圆， C′B′须证MK·KN＝PK·KQ， K即证(MC′-KC′)(MC′+KC′) PMBC＝(PB′-KB′)·(PB′+KB′) 2222 或MC′-KC′=PB′-KB′ .① - 10 -