试卷类型：B
2010年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷
数 学(文科)
一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A＝{1,2}, B＝{1,2，3}, C＝{2，3, 4},则（A∩B）∪C＝ A．{1,2} B．{2，3, 4} C．{1,2，3, 4} D．{1,2，3} 2．下列函数中，周期为?的是 A．y=sin
点，则A1E与BD所成角的余弦值为A．9．等腰直角三角形ABC中，A=
33037 B. C． D．
41057?，AB=AC=2，M是BC的中点，P点在?ABC内部或其 2????????? 边界上运动，则即BP·AM的取值范围是
A．[-l，0] B．[-2，0] C．[-2，-1] D．[1，2] 10．函数f(x)=x+2xf?(1) ，f?(x)为f(x)的导函数，令a=-31，b=log32,则下列关系正确的2xx B．y=tan2x C．y=cos D． y=sin2x 24?13．已知函数f(x)的反函数f(x)的图象经过A(1，O)点，则函数y= f(x-1)的图象必过点
是（)
A．f(a) > f(b) B．f(|a|) ＜ f(b) C．f(a) = f(b) D．f(a) ＜ f(b) 11．如图，棋盘式街道中，某人从A地出发到达B地．若限制行进的方向只能向右或向上，则不同的走法数为 A．
A．(1，1) B．(-l，1) C．(-1，2) D． (0，1)
4．动点P到A(0，2)点的距离比它到直线l：y=-4的距离小2，则动点P的轨迹方程为 A．y=4x B．x=8y C．x=4y D． y=8x
5．设(1-2x)=a0 + a1x+ a2x+…+ a10x，则a0 + a1的值为
A．10 8．-24 C．21 D．-19 6．若定义在[-1，1]上的函数f(x)是偶函数，且它在[0， 1]上的图象如图所示，则不等式xf(x)<0的解集为
10222221332 B． C． D. 275510x2y212．椭圆2+2=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B，F为其右
ab焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=?，且?∈[
??,]，则该椭圆离心率的取值范围为 124 A．[
111,) B．(-,0) 2221111C．（-1，-)∪(0, ) D．(-,0)∪(,1)
2222A．(-7．过直线y=x上一点P引圆x+y-6x+7=0的切线，则切线长的最小值为
22223626,1 ) B．[,] C．[，1) D．[,]
2223231
?x的解集为 x
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分；共20分． 13.不等式
14．已知数列{an}为等差数列，a1+a3+a5=15，a4=7，则S6的值为 15．奇函数f(x)的图象按向量a=（-
A．
23210 B. 2 C． D.
222??，1）平移得到函数y=cos(2x-)+1的图象,则函数f(x)1238．如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=AA1=2，AD=1，E为CC1的中
的解析式为
16．一个正三棱锥内接于球O，且其底面的三个顶点恰好在同一个大圆上，若一个动点从三棱锥
的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，经过的最短距离7?，则球的表面积为
- 1 -
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文宇说明，证明过程或演算步骤r 17．(本小题满分l0分)
如图，已知平面四边形ABCD中，?BCD为正三角形，AB＝AD=1，∠BAD=?，记四边 形ABCD的面积为S.
次投中记l分，投不中记-1分，统计平时的数据得该运动员每次投篮命中的概率为
2，若在某3场训练中，该运动员前n次投篮所得总分司为sn，且每次投篮是否命中相互之间没有影响． (I)求该篮球运动员前三次投篮所得总分为1的概率； (Ⅱ)求出现S8?2且Si?0?i?1,2,3?的概率。
(I)将S表示为?的函数；
(Ⅱ)求S的最大值及此时?的大小． 18．（本小题满分12分)
已知公比q为正数的等比数列{an}的前n项和为sn，且5s2?4s4． (I)求q的值；
(Ⅱ)若bn?q?Sn?1,n?2,n?N?且数列{bn}也为等比数列，求数列{bn}的通过项公式． 19．(本小题满分12分)
如图，平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD= 其中AC与BD交于点G，A1点在面ABCD上的射影0恰好为线段AD的中点。
21．(本小题满分l2分)
已知函数f(x)=x3-ax2-1(a≠0).
（I）求函数f(x)的单调区间；
(Ⅱ)当a>0时，若过原点（0，0）与函数f(x)的图象相切的直线恰有三条，求实数a的取值范围． 22．(本小题满分12分)
??x2y2 如图，已知双曲线2?2?1(b>a>O)且a?[1，2]，它的左、右焦点分别为F1,F2，左、右
ab顶点分别为A、B．过F2作圆x2?y2?a2的切线，切点为T，交双曲线于P,Q两点.
? 3
(I)
(I)求点G到平面ADD1A1距离；
(Ⅱ)若AA1=2，求二面角A1-BD-A的大小．
20.（本小题满分l2分)
为提高某篮球运动员的投篮水平，教练对其平时训练的表现作以详细的数据记录：每
(II)
求证：直线PQ与双曲线的一条渐近线垂直；
若M为PF2的中点，0为坐标原点，∣OM∣-∣MT∣=1，∣PQ∣=?∣AB∣，求实数?的取值范围．
2010年石家庄市第一次模拟考试
文科数学答案
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审核：刘文迁 校对：钟双玲
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分. (A卷答案):1-5 CBADB 6-10 CBBDA 11-12 DB (B卷答案):1-5 CDABD 6-10 CDDBA 11-12 BD
二、填空题: 本大题共4个小题，每小题5分，共20分
13． ???,?1???0,1? 14. 36 15. f(x)?sin2x 16. ??? 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写文字说明，证明过程或演算步骤. 17.解：(Ⅰ)在?ABD中，由余弦定理得BD?2?2cos?, 又S2由?bn?为等比数列知：∴bn?11?2a1?0，得 a1??，………………………………10分 2411n?21?()?n. ……………………………………………………………12分 42219． 解：（ Ⅰ）连结BO,取DO中点H，连结GH,
因为AO?平面AC,所以平面AD1?平面AC，…………………………….2分 1又底面为菱形，O为AD中点， 所以BO?平面AD1， 因为GH∥BO，
所以GH?平面AD1，………………….4分 又GH=
?S?ABD?S?BCD=sin??(2?2cos?)sin?31212?……………………………3分 3 所以S?sin(??)?3 ，???0,?) ………………………………………5分 2（Ⅱ）????0,? ） ????2?????，……………………………….7分 3335?3 ….10分 时，S取得最大值，最大值为1?6213BD=， 22所以点G到平面ADD1A1的距离为
所以当???3??23………………………………….6分 2时，即??（Ⅱ）方法一：做OM?BD于M，连结A1M，则
18. 解：（Ⅰ）若q?1， 则5S2?10a1 ,4S4?16a1 ,
?A1MO为所求二面角的平面角…………………..8分
在直角三角形AOA1中，AO?1， 1由已知可得，
?a1?0,∴5S2?4S4，不合题意. …………………………………………………3分
a1(1?q2)a1(1?q4)12若q?1，由5S2?4S4得5?，∴q?,又q?0, ?4?41?q1?q1
. ……………………………………………………………………………6分 2
1a1[1?()n?1]1112(Ⅱ)bn????2a1?a1?()n?2，……………………………..8分
12221?2∴q?
OM?13AG?，………………………………10分 22则tan?A1MO?123?，
33223. …………………………………………12分 3所以二面角A1?BD?A的大小为arctan
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方法二：分别以OA,OB,OA1所在直线为x,y,z轴，建立如图所示的坐标系， 因为AA1=2，所以AO1=1，
面ABD的一个法向量为n?(0,0,1)，…..8分 设面A1BD一个法向量为m?(x,y,z)，
?1??2??2?3?1??2?3?2?=P2?????C6C?????………………………………………10分 6?????3??3??3??3??3??3?所以出现S8?2且Si?0(i?1,2,3)的概率为：
3353?????????AD?(?1,0,?1)，A1B?(0,3,?1) 1????????x?z?0;?m?A1D?0;?，取y?3, ?????????m?A1B?0.?3y?z?0.?则m?(?3,3,3)，………………………………………10分
所以cosn,m?321 ?72121. ……………………………………..12分 7320320?. ………………………………………………………….12分 3721872a221.解（Ⅰ）f'(x)?3x2?2ax,由3x?2ax?0得x?0或x?，……………2分
32a2a,或x?0时，f'(x)?0,所以当a?0时，f(x)在(??,0),(,??)上为增若a?0，当x?332a)上为减函数；…………………………………………………………4分 函数，在(0,32a2a,或x?0时，f'(x)?0,所以当a?0时，f(x)在(??,),(0,??)上为增若a?0，当x?332a,0)上为减函数. ………………………………………………………6分 函数；，在(3P?P1?P2?2（Ⅱ）依题意设切点为（x0,y0），则切线方程为y?(3x0?2ax0)x，
232∵切点在切线和y?f(x)的图象上，则y0?(3x0?2ax0)x0，y0?x0?ax0?1， 32∴2x0?ax0?1?0，
所以二面角A1?BD?A的大小为arccos20解：（Ⅰ）该运动员前三次投篮的总分为1，
说明三次投篮中有两次投中一次未投中，…………………………………………….2分
2所以所求概率为P?C3??????2??1??3??3?24. …………………………………………………5分 9由题意知满足条件的切线恰有三条，
则方程2x?ax?1?0有三个不同的解……………………………………..8分 令g(x)?2x?ax?1,3232（Ⅱ）若S8?2，说明前八次投篮中，五次投中三次未投中，………………………6分 又Si?0(i?1,2,3)，所以包含两种情况.
第一种情况：第一次投中，第二次未投中，第三次投中，后五次中任意两次未投中.
g'(x)?6x2?2ax，
a， 3
a3'由g(x)?0得x?0或x?
∵a?0，分析可知f(x)在(??,0),(,??)上为增函数， 在(0,)上为减函数；…………………………………………………………10分
?1??2??1??2?2?1??2?2?2?此时的概率为P=?CC???……………………8分 5??1??????5?????3??3??3??3??3??3??3?第二种情况：第一次和第二次都投中，后六次中任意三次未投中.此时的概率为
2353a3
- 4 -
aa3
又当x?0时，g(x)的极大值为1，恒大于0，当x?时，g(x)的极小值为1?，
327
1|F2M|?|OM|?(|PF2|?|PF1|)?a，
2|OM|?|MT|?1,代入上式得|F2M|?|MT|?a?1,
又|F2M|?|MT|?|F2T|?a3?0即可，∴a?3.………………………………………………12分 ∴只需1?27故a的取值范围为（3，+∞）.
c2?a2?b，
所以b?a?1. …………………………………………………………………….9分
bx2y222． 解：（Ⅰ）双曲线2?2?1(b?a?0)的渐近线为y??x，
aab设直线PQ的方程为y?k(x?c)，(不妨设k?0)，由于与圆x2?y2?a2相切，
2ab2因为|AB|?2a，|PQ|?2，
b?a2b2(a?1)2a2??2???1，…………………………………………………10分 2b?a2a?12a?1令t?2a?1,则a?aa2?a，即k?2，直线PQ的斜率k??，……………………….3分 ?bbk2?1|kc|2因为一三象限的渐近线为
b， at?111?1?,t?[3,5]，???t??2??1，因为t?在[3,5]为增函数，所以2t4?t?ab????1.所以直线PQ与双曲线的一条渐近线垂直；………………………….5分 ba???,?. ……………………
?35?………………………………………………………12分
.s.5.u.c.o.m ?49??y?k(x?c)?22222222222（Ⅱ）?x2y2得(b?ak)x?2akcx?akc?ab?0，
?2?2?1?ab设P(x1,y1),Q(x2,y2),
??2a2k2cx?x???12b2?a2k2则?， 22222?xx??akc?ab12?b2?a2k2?2ab22ab2(1?k2)?2所以|PQ|?(1?k)[(x1?x2)?4x1x2]?，…………7分 2222b?a|b?ak|22因为|OM|?11|PF1|,|F2M|?|PF2|, 22
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