简单几何体的表面积与体积的计算
一、四种常见几何体的平面展开图
1.正方体
沿正方体的某些棱将正方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图，这一展开图是由六个全等的正方形组成的，见图6—1。
图6─l只是正方体平面展开图的一种画法，还有别的画法（从略）。
2.长方体
沿长方体的某些棱将长方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图。这一展开图是六个两两彼此全等的长方形组成的，见图6—2。图6—2只是长方体平面展开图的一种画法，还有别的画法（从略）。
3.（直）圆柱体沿圆柱的一条母线和侧面与上、下底面的交线将圆柱剪开铺平，就得到圆柱体的平面展开图。它由一个长方形和两个全等的圆组成，这个长方形的长是圆柱底面圆的周长，宽是圆柱体的高。这个长方形又叫圆柱的侧面展开图。图6—3就是圆柱的平面展开图。
4.（直）圆锥体
沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆锥体剪开铺平，就得到圆锥的平面展开图。它是由一个半径为圆锥体的母线长，弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个圆组成的，这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。具体图形见图6—4。
二、四种常见几何体表面积与体积公式
1.长方体
长方体的表面积=2×（a×b+b×c+c×a）
长方体的体积=a×b×c（这里a、b、c分别表示长方体的长、宽、高）。
2.正方体
正方体的表面积=6×a
2
正方体的体积=a（这里a为正方体的棱长）。
3
3.圆柱体
圆柱体的侧面积=2πRh
圆柱体的全面积=2πRh+2πR=2πR（h+R）
2
圆柱体的体积=πRh（这里R表示圆柱体底面圆的半径，h表示圆柱的高）。
2
4.圆锥体
圆锥体的侧面积=πRl
圆锥体的全面积=πRl+πR
2
母线长与高）。
三、例题选讲
例1 图6—5中的几何体是一个正方体，图6—6是这个正方体的一个平面展开图，图6—7（a）、（b）、（c）也是这个正方体的平面展开图，但每一展开图上都有四个面上的图案没画出来，请你给补上。
分析与解：从图6—5和图6—6中可知：相对面的位置上。只要在图6—7
与；与；与互相处于
（a）、（b）、（c）三个展开图中，判定谁与谁处在互为对面的位置上，则标有数字的四个空白面上的图案便可以补上。
先看图6—7中的（a），仔细观察可知，1与4，3与处在互为对面的位置上。
再看图6—7中的（b），同上，1与3，2与处在互为对面的位置上。
最后再看图6—7中的（c），同上，1与，2与4处在互为对面的位置上。
图6—7（a）、（b）、（c）标有数字的空白面上的图案见图6—8中的（a）、（b）、（c）。
例2 图6—9中的几何体是一个长方体，四边形APQC是长方体的一个截面（即过长方体上四点A、P、Q、C的平面与长方体相交所得到的图形），P、Q分别为棱A1B1、B1C1的中点，请在此长方体的平面展图上，标出线段AC、CQ、QP、PA来。
分析与解：只要能正确画出图6—9中长方体的平面展开图，问题便能迎刃而解。图6—10中的粗实线，就是题目中所要标出的线段AC、CQ、QP、PA。
例3 在图6—11中，M、N是圆柱体的同一条母线上且位于上、下底面上的两点，若从M点绕圆柱体的侧面到达N，沿怎么样的路线路程最短？
分析与解：沿圆柱体的母线MN将圆柱的侧面剪开铺平，得出圆柱的侧面展开图，见图6—12，从M点绕圆柱体的侧面到达N点。实际上是从侧面展开图的长方形的一个顶点M到达不相邻的另一个顶点N。而两点间以线段的长度最短。所以最短路线就是侧面展开图中长方形的一条对角线，见图6—12和图6—13。
例4 图6—14中的几何体是一棱长为4厘米的正方体，若在它的各个面的中心位置上，各打一个直径为2厘米，深为1厘米的圆柱形的孔，求打孔后几何体的表面积是多少（π=3.14）？