案例二十. 最值问题
【模型准备】某厂生产两种产品, 物价部门核准的单价分别为4元和8元. 经过测算, 若两种产品的产量分别为Q1, Q2, 则成本为(Q12 + 2Q1Q2 + 3Q22 + 2)元. 问: 该厂应该如何安排生产, 才能使所得利润最大?
【模型假设】假设按物价部门核准的单价进行计算.
【模型建立】根据已知条件和上述假设, 若两种产品的产量分别为Q1, Q2, 则利润函数为
P(Q1, Q2) = 4Q1 + 8Q1 ? (Q12 + 2Q1Q2 + 3Q22 + 2).
于是原问题就是要确定Q1, Q2使得P(Q1, Q2)达到最大值.
【模型求解】4Q1 + 8Q1 ?(Q12 + 2Q1Q2 +3Q22 +2) = ?(Q1 + Q2)2 ?2Q22 + 4Q1 + 8Q2 ?2. 令Q1 + Q2 = x, Q2 = y, 则
?(Q1 + Q2)2 ?2Q22 + 4Q1 + 8Q2 ?2 = 4 ? (x ? 2)2 ? (y ? 1)2.
由此可见当x = 2, y = 1, 即Q1 = Q2 = 1时, P(Q1, Q2)最大. 这就是说, 两种产品的产量相同才能使所得利润最大.
Matlab实验题
设有半径为1球, 球心在坐标原点. 球上点P(x, y, z)处的温度(单位?C)为
T(x, y, z) = 3x2 + 3y2 + 2xy + 4xz ? 4yz.
问球面上哪些点处温度最高, 哪些点处温度最低, 最高温度和最低温度分别是多少?
参考文献
[1] 陈建龙, 周建华, 韩瑞珠, 周后型. 线性代数. 北京: 科学出版社, 2007. [2] 张小向, 陈建龙, 线性代数学习指导. 北京: 科学出版社, 2008.
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