2018-2019学年河南省南阳、信阳等六市高考数学一模试卷（理
科）
温馨提示：多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。高考保持心平气和，不要紧张，像对待平时考试一样去做题，做完检查一下题目，不要直接交卷，检查下有没有错的地方，然后耐心等待考试结束。 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知集合集的个数是（ ） A．0
B．1
C．2
D．4
，C=A∩B，则C的子
2．复数z满足（1﹣i）=|1+i|，则复数z的实部与虚部之和为（ ） A．
B．﹣
C．1
D．0
3．设直线m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列事件中是必然事件的是（ ）
A．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β C．若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β 4．给出下列四个结论：
①已知X服从正态分布N（0，?2），且P（﹣2≤X≤2）=0.6，则P（X＞2）=0.2；
B．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β D．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β
②若命题﹣1≥0；
，则￢p：?x∈（﹣∞，1），x2﹣x
③已知直线l1：ax+3y﹣1=0，l2：x+by+1=0，则l1⊥l2的充要条件是其中正确的结论的个数为（ ） A．0
B．1
C．2
D．3
，则tanC的值是（ ）
D．﹣2
．
5．在△ABC中，A．1
B．﹣1 C．2
6．如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n”表示m除以n的余数），若输入的m，n分别为495，135，则输出的m=（ ）
A．0 B．5 C．45 D．90
，且z的最大值是最小值的4倍，
7．已知z=2x+y，其中实数x，y满足则a的值是（ ） A．
B． C．4
D．
8．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x﹣）=f（x+）恒成立，当x∈[2，3]时，f（x）=x，则当x∈（﹣2，0）时，函数f（x）的解析式为（ ） A．|x﹣2| B．|x+4|
C．3﹣|x+1|
D．2+|x+1|
个单位后得到函数g（x）的图象，
9．将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移若函数g（x）在区间[0，]和[2a，是（ ） A．[
，
] B．[
，
] C．[﹣
，
]上均单调递增，则实数a的取值范围
] D．[，]
10．已知F2、F1是双曲线=1（a＞0，b＞0）的上、下焦点，点F2关于渐
近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ） A．3
B．
C．2
D．
11．一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是右图．图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是（ ）
A．π B．3π C．4π D．6π
12．中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美，给出定义：能够将圆O的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”，给出下列命题：
①对于任意一个圆O，其“优美函数“有无数个”； ②函数
可以是某个圆的“优美函数”；
③正弦函数y=sinx可以同时是无数个圆的“优美函数”；
④函数y=f（x）是“优美函数”的充要条件为函数y=f（x）的图象是中心对称图形．
其中正确的命题是（ ）
A．①③
B．①③④ C．②③ D．①④
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知向量，若，则= ．
14．（2x2+x﹣1）5的展开式中，x3的系数为 ．
15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c?cosB=2a+b，若△ABC的面积为S=16．椭圆C：
c，则ab的最小值为 ． +
=1的上、下顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜
率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是 ．
三、解答题（本题必作题5小题，共60分；选作题2小题，考生任作一题，共10分.）
17．观察下列三角形数表：
假设第n行的第二个数为，
（1）归纳出an+1与an的关系式，并求出an的通项公式； （2）设anbn=1（n≥2），求证：b2+b3+…+bn＜2．
18．如图所示的几何体中，ABC﹣A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，∠ADC=60°． （1）若AA1=AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD；
（2）若CD=2，AA1=λAC，二面角A﹣C1D﹣C的余弦值为的体积．
，求三棱锥C1﹣A1CD
19．为了对2016年某校中考成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机抽出8位，他们的数学分数（已折算为百分制）从小到大排是60、65、70、75、80、85、90、95，物理分数从小到大排是72、77、80、84、88、90、93、95． （1）若规定85分以上为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；
（2）若这8位同学的数学、物理、化学分数事实上对应如下表： 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95 物理分数y 72 77 80 84 88 90 93 95 化学分数z 67 72 76 80 84 87 90 92 ①用变量y与x、z与x的相关系数说明物理与数学、化学与数学的相关程度； ②求y与x、z与x的线性回归方程（系数精确到0.01），当某同学的数学成绩为50分时，估计其物理、化学两科的得分．
参考公式：相关系数，
回归直线方程是：，其中，
参考数据：，
，
，．
20．如图，抛物线C：y2=2px的焦点为F，抛物线上一定点Q（1，2）． （1）求抛物线C的方程及准线l的方程；
（2）过焦点F的直线（不经过Q点）与抛物线交于A，B两点，与准线l交于点M，记QA，QB，QM的斜率分别为k1，k2，k3，问是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3