图中，蓝色连续曲线采样后的图形，既可以理解为只在采样点处有定义，其他点没有定义的点列，也可以理解为有着周期性质的矩形红色图像（这里仅是示意图，红色图形骤变点函数值应该和蓝色图形该店函数值严格相等。）。而矩形红色图像是2D_CFS和2D_DFS的桥梁，它的频率成分既可以当做点列用2D_DFS计算，又可以当做连续函数用2D_CFS计算，结果是一致的。
在推倒过程中，我们发现，积分?和逐项求和?本质上是一致的，都是以一定的步长在求曲线和横坐标所夹图像的面积，只是因步长的不同而导致精度不同而已，而2D_DFS中的公式分子
M?1N?1m=0n=0??fMN[m,n].e?2?j(k11m?ln)MNTxTy，??fMN[m,n].em=0n=0M?1N?1?2?j(kmln?)MN就是在求红色矩形图像在一个周期中的
面积，只不过横坐标选取不同，但最后分子分母一相消，就导致结果一致。所以有时候通过红色矩形图像来理解采样，和傅里叶变换公式，有着事半功倍的效果。
很自然，反变换就是把个频率成分加起来就行了： fMN[m,n]???F[k,l].ek?0l?0M?1N?12?j(kmln?)MN,m,n取整数
但这里为了对称令正反变换形式一致，添加了系数，这里不再赘述。 所以得到2D_DFS公式如下： kmln?2?j(?)?1M?1N?1MNfMN[m,n].e???F[k,l]?MNm=0n=0??kmlnM?1N?12?j(?)?f[m,n]?1F[k,l].eMN??MN?MNk?0l?0?k,l取整数,具有周期性
m,n取整数4、 离散非周期信号?-----?连续周期频谱 2D_DTFT
?????*?2?j(ux?vy)F(u,v)=f(x,y).edxdy??????????????f(x,y)?*2?j(ux?vy)F(u,v).edudv????????u,v取-?x,y取-?+?上的实数+?上的实数
对f(x,y)进行按照x方向Tx的采样周期（单位不一定为时间），y方向（单位不一定为时间）
Ty的采样周期进行采样，得到f[m,n]。
limX?limMTx???x?mTx?X????M????这里，?，?
y?nTlimY?limNT?yy??N?????Y????????F(u,v)=?*?????????f(x,y).e?2?j(ux?vy)dxdyF*(?x,?y)?lim?limM????N??????????????f(mTx,nTy).e?2?j(k?2?j(k11mTx?lnTy)MTxMTxdmTxdnTyM????N??????????f[m,n].e????11m?ln)MMdmTxdnTy?m?n?TxTylim????M????N??????????f[m,n].e?2?j(k11m?ln)MM?TxTy?TxTy令F(?x,?y)=
????????f[m,n].e???2?j(?xm??yn)?m?nm???n?????f[m,n].e?2?j(?xm??yn)1F*(?x,?y)TxTy
F(?x,?y)也具有周期性，所以反变换时只需取一个主周期进行计算就可以了。
????f(x,y)?????11??F*(u,v).e2?j(ux?vy)dudv*F??(k11**??F(?x,?y).e0011f[m,n]?limM????N????0011112?j(?xm??yn),).edkdl具有周期性MTxNTyMTxNTy2?j(?xm??yn)1?TxTy?TxTyTxTy11d?xd?y
??F(?x,?y).e002?j(?xm??yn)d?xd????F(?x,?y).e002?j(?xm??yn)d?xd?所以2D_DTFT
??????2?j(?xm??yn)?F(?x,?y)???f[m,n].em???n?????11?f[m,n]?F(?,?).e2?j(?xm??yn)d?d?
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