线性代数总复习大纲及复习题： 一、 概念
1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、
行列式的 定义
向量组相关与无关的定义 对称阵与反对称阵 可逆矩阵
矩阵的伴随矩阵 基与向量的坐标
矩阵的特征值与特征向量 正定矩阵 矩阵的迹 矩阵的秩 矩阵的合同
二次型与矩阵
齐次线性方程组的基础解系
二、 性质与结论
1、 与向量组相关与无关相关的等价结论
2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、
行列式的性质
克莱姆规则（齐次线性方程组有非零解的充要条件） 矩阵可逆的充要条件及逆矩阵的性质 初等变换与初等矩阵的关系 AA?AA?AE n维向量空间坐标变换公式 相似矩阵的性质 合同变换
矩阵正定的充要条件
线性方程组解的性质与结构定理
a1a22b2?a2c2a32b3?a3?6，则 c3??三、复习题及参考答案
1．若三阶行列式2b1?a1c1a1a2b2c2a3b3= 12 c3 b1c1?tx1?x2?x3?0?2．若方程组?x1?tx2?x3?0有非零解，则t=????1???。
?x?x?tx?023?1?3x?2y?0?3．已知齐次线性方程组?2x?3y?0 仅有零解，则?? 0 ?2x?y??z?0?
1
121332，则元素a12=2的代数，余子式A12= -1 ； 14．已知三阶行列式D=32
3.若n阶矩阵A、B、C满足ABC=E（其中E为n阶可逆阵），则BCA=E。（ 对 ）
0002302342345?16. （ 对 ）
4.行列式
0025.对向量?1,?2,?3,?4，如果其中任意两个向量都线性无关，则?1,?2,?3,?4线性无关。（ 错 ） 6. 如果A是n阶矩阵且A?0，则A的列向量中至少有一个向量是其余各列向量的线性组合。（ 对 ） 7. 向量组?1,?2,?,?s线性无关的充分必要条件是其中任一部分向量组都线性无关。（ 对 ） ?2?8 矩阵A?1??2?1112??1是正定的。（ 对 ） ?5??9. n阶矩阵A与B相似，则A与B同时可逆或同时不可逆。（ 对 ）
10．已知向量组?1?(1,2,1),?2?(a,1,1),?3?(1,a,1).则当a= 1 或a= 2 时向量组?1,?2,?3线性相关。（ 对 ）
11．n阶矩阵A满足A2?3A?2E?0,则A-3E可逆，A-2E可逆。 （ 对 ） 12．阵A与其转置AT具有相同的行列式和特征值。 （ 对 ）
13．如果n阶矩阵 A的行列式┃A┃=0，则A至少有一个特征值为零 。（ 对） 14. 设A为n阶方阵，k为常数，则kA?kA。 （ 错 ） 15.设6阶方阵A的秩为3，则其伴随矩阵的秩也是3。 （错 ）
043?x22?x13?0的实根为6. （ 对 ）
16．行列式f(x)?21?x17. 如果向量组?1,?2,?,?s线性相关，则每一个向量都能由其余向量线性表示。（错 ） 18．n阶矩阵A满足A?3A?2E?0,其中E为n阶单位矩阵，则A可逆。 （ 对 ） 19．若矩阵A可逆，则AB与BA相似。 （ 对 ）
20．如果n阶矩阵 A的行列式┃A┃?0，则A的特征值都不为零 。 （ 对 ）
2 2
?1?21．矩阵A?2??3?2?143??4是正定。 （ 错 ） ??1??22．n阶单位矩阵的特征值都是1。 （ 对 ）
?2x1?x2?3x3?5?23.方程组的解为x1??3x1?x2?5x3?5
?4x?x?x?923?12x,??2x1,?3 0 . （对）
24.果A是n阶矩阵且A?0，则A的每一个行向量都是其余各行向量的线性组合。 （ 错 ） 25． 矩阵A是m×n矩阵，齐次线性方程组AX=0只有零解的充要条件是A的列向量线性相关。（ 对） 26．若矩阵A有特征值
12，则2一定是矩阵A的逆矩阵的特征值。 ( 错 )
27 若?1,?2为非齐次线性方程组AX?b(b?0)的两个解，则?1??2为线性方程组 AX?0 的解； 28．如果r(A)?r，A中能否有值等于零的r?1阶子式？能否有值等于零的r阶子式？
能否有值不为零的r?1阶子式？
答 A中不能有值等于零的r?1阶子式；能有值等于零的r阶子式；没有值不为零的r?1阶子式。 ?3??0??TT29．若A??2?,B???1??1????363??2?T?,则(AB)???. （ 错 ） 7??4?30．已知n元线性方程组AX?b，其增广矩阵为A，当（ C ）时，线性方程组有解。 A、r(A)?n， B、r(A)?n； C、r(A)?r(A)； D、r(A)?r(A) 34??12????31．若线性方程组Ax?b的增广矩阵A经初等行变换化为A??0? ??00??1??2???当??（ B ）时，此线性方程组有惟一解
A、-1,0 B、0,1 C、-1,1 D、1,2
32．若三阶行列式D的第三行的元素依次为1、2、3，它们的余子式分别为2、3、4，则D=（ B ） A、-8 B、8 C、-20 D、20 33. 设A为n阶方阵，且?A?=4，则?（A）
14n?114A?=??A???? 。
14n?1； （B）abcb14n； （C） ； （D）1。
c34、行列式abc?_______.3abc?a3?b3?c3 a 3
?2?35．设矩阵A?1??0?1200??0，矩阵B满足ABA??2BA??E，其中E为三阶单位矩阵，A?为A的伴随?1??矩阵，则B?（ B ）. （A）
13； （B）
19； （C）
14； （D）
13。
2236、 二次型f(x1,x2,x3)?3x12?2x2?x3?6x1x2?4x1x3的矩阵为 D
?5?2?（A）?2???1???212?1??1??5???1?； （B）4????1??1???41?1?1???1； ?2???5?（C）2???2?21?1?2??3???1； （D）3?????22??0?1?3210?143?20?2??0。 ?1???1?2? 37．设矩阵A??0??00???2?,则r(A?)???????1?? 。 1??4?（A）0； （B）3； （C）1； （D）4。
38．设A、B均为三阶矩阵，且┃A┃=4，┃B┃=-2，则(3B)?1A?=??-8/27???????。 （其中A?为矩阵A的伴随矩阵） ?2?39．设实对称矩阵A???2?0??21?20???2?，则与矩阵A相似的对角阵为????A???? 。 0??0100??1??0?； （C）?0?00????4?（A）?0?0?0100??1??0?； （B）?0?0?2???0100??4??0?； （D）?0?0?2???0100??0?。 2??340． 设?1,?2,?3和?1,?2,?3是R的两组基，其中?1??1，?2??1??2，
?3??1??2??3，则???1?2?2?3?3关于基?1,?2,?3和?1,?2,?3的坐标为???（1，-2，3）和（-1，5，-3）????? 。
4
41 矩阵A???3?51??的特征值是（ C ） ?1?A、?1?2，?2?4； B、?1??2，?2??4； C、?1??2，?2?4； D、?1?2，?2??4。 ?21?042. 已知A?2???0140120??3，求A，A?1，(A*)?1 ?5???1??0???00???4??*?1?106， (A)?0????4?2??000?2?4答案 A??， A?10???6。
??10??43 n阶矩阵A可以对角化的充分必要条件是（ B ）。
A、A有n个不全相同的特征值； B、A有n个线性无关的特征向量； C、A有n个不相同的特征向量； D、AT有n个不全相同的特征值。
?144．设矩阵A???4?230??8?,B??5??5236??2?，且满足方程2A+X=B-2X，则X=??????14???12?12???????。 ?2???1?45．设λ=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵?A2?有一个特征值等于 B 。
?3?4311（A）； （B）； （C）； （D）
342446．设-3是三阶实对称矩阵A的二重特征值，且A的迹tr（A）=-1，那么A?1的特征值为??1/5，-1/3，-1/3?? 。 ?x1?x2?2x3?3x4?1??x1?3x2?6x3?x4?347．已知线性方程组?，参数t= ???2?????时，方程组有无穷多解。
?3x1?x2?tx3?15x4?3?x?5x?10x?12x?1234?1?1?48．设矩阵A??2??1??10526210?50??1,则r(A)???????C?? 。 ?2??（A）0； （B）3； （C）2； （D）4
1110110110111?_______.B
49．行列式
110 （A）3； （B）-3； （C）6； （D）-6。
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