华北电力大学2011-2012学年第一学期考试试卷(A)
课程名称 专业班级 考试方式 命题教师 复变函数与积分变换 全校各班 闭卷 命题组 课程编号 需要份数 试卷页数 主任签字 2 00900090 考核日期 份 送交日期 A BC卷齐全 备 注 11/11/15 11/11/08 是 一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题2分，共10分） 1． z?0为函数f(z)?的（ ）。 1cosz（A）可去奇点 （B） 极点 （C）本性奇点 （D）非孤立奇点 2. 幂级数?(sinin)zn的收敛半径是（ ）。
n?0?1（A）e （B）
11 （C）2 （D） e23. w?e2z的周期是（ ），k?Z。
（A）2k? （B）k? （C）k?i （D）2k?i
4．下列命题中，错误的是( ) 。
（A）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数
（B）设v1,v2在区域D内均为u的共轭调和函数，则必有v1?v2?c,c为实常数 （C）若f(z)?u?iv在区域D内解析，则
?u?v,均为D内的调和函数 ?x?y（D）解析函数的虚部是实部的共轭调和函数
5. 把三个点z?1, i, ?1分别映射成三个点w?0, ?1, ?的分式线性映射为（ ）。 （A）w?
1
z?1z?1z?1z?1 （B） w?i （C）w? （D）w?i z?1z?1z?1z?1
二、填空题（每空2分，共10分）
1. 直线y?2x?1复数形式的参数方程为 。 2. 映射w?cosiz在z?i处的伸缩率为 。 3. Ln(1?i)? 。 4. 设f(z)?z?1, 则Res[f(z),0]= 。
z2?2z5. ii? 。 三、(10分) 将函数f(z)?级数。
z分别在1?|z|?2, 3?|z?1|???内展开成洛朗
z2?z?2|t|?1?2, 四、(10分)求矩形脉冲函数f(t)??的傅里叶（Fourier）变换，并证明
?0, |t|?1???0sinx?dx?。 x2五、求下列函数的积分（封闭曲线均为正向）（每小题5分，共计30分）： 1.
1dz, n为整数； 2. n?(z?z0)|z?z0|?r|z|?1?4(z2?1)(z2?4)dz；
3esinz?cosz3. ?2dz； 4. 510(z?10)(z?4)|z|?36.
coszdz； 5. 2?z(z?1)|z|?2???0xsin2xdx； 21?x???0。 t2e?2tdt（提示：利用拉普拉斯（Laplace）变换的定义及其性质）
六、（10分）证明u(x,y)?y2?x2为调和函数，并求其共轭调和函数v(x,y)和由它们构成的解析函数f(z)?u?iv，满足f(i)??1?5i。
七、（10分）写出将单位圆|z|?1映射成单位圆??1的分式线性映射??f(z)的
i一般形式，并求满足条件f()?0,f(i)?1的分式线性映射。
2t??y??(t)?2y?(t)?y(t)?2?0y(?)d?,t?0八、（10分）求解?。
??y(0)?1,y?(0)?0 2