第九讲: 平行四边形及特殊的平行四边形
（一）：【知识梳理】
1.平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形的定义要抓住两点，即“四边
形”和“两组对边分别平行”．
2.四边形的边角按位置关系可分为两类：
对边（没有公共端点的两条边）；邻边（有一个公共端点的两条边）
对角（没有公共边的两个角）；邻角（有一条公共边的两个角）对角线：不相邻的两个顶点连成的线段 3.两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线间的
距离．两条平行线间的距离是一个定值，不随垂线段位置改变而改变，两条平行线间的距离处处相等．
4.平行四边形的性质：
平行四边形的两组对边分别平行； 符号语言表达：
平行四边形的两组对边分别相等； 四边形ABCD是平行四边形 平行四边形的两组对角分别相等； 平行四边形的对角线互相平分． 5.平行四边形的判定：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 对角线互相平分的四边形是平行四边形． 符号语言表达：
AB∥CD.BC∥AD?四边形ABCD是平行四边形 AB=CD，BC=AD?四边形ABCD是平行四边形．
AB平行且相等CD或BC平行且相等AD?四边形ABCD是平行四边形． OA=OC，OB=OD?四边形ABCD是平行四边形．
∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB?边形ABCD是平行四边形． 二：【经典考题剖析】
1.下面给出四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判别四边形ABCD是平行四边形的是（B） A．l：2：3：4 B．2：3：2：3 C．2：3：3：2 D．1：2：2：3
2.以不在同一直线上的三点作平行四边形的三个顶点，则可作出平行四边形（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.如图，□ABCD中，对角线AC和 BD相交于点O，如果AC=12，BD=10，AB=m，那么m的取值范围是（ ） A．1＜m＜11；B．2＜m＜22；C．10＜m＜12；D．5＜m＜6
○
4.一个正多边形的每个外角都是36 ，则这个多边形是_________边形．
5.已知一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，那么这个多边形的边数是_________．
三：【课后训练】
1.平行四边形一组对角的平分线（ ）
A．在同一条直线上；B．平行；C．相交； D．平行或在同一直线上 2.如图，在□ABCD中，如果点M为CD中点，AM与BD相交于点N那 么SΔDMN：S□ABCD为（ ）
A．1：12 B．1：9 C．1：8 D．1：6
3.已知□ABCD的周长为30㎝，AB：BC=2：3，那么AB=___________㎝. 4.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，如果AC=10，BD=8，AB=x，则x的取值范围是（ ）
1
A．1＜x＜9；B．2＜x＜18；C．8＜x＜10；D．4＜x＜5
○
5.现有一块等腰直角三角形的铁板，通过切割焊接成一个含有45角的平行四边形，请你设计一种最简单的方案，并说明你的方案正确的理由．
6.如图，在平行四边形ABCD中，点E、F 在对角线AC上，且AE=CF，请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一个点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等．（只需说明一组线段相等即可）
（1）连接_______；（2）猜想________ （3）说明理由.
7.如图，某村有一块四边形池塘，在它的四个角A、B、C、D处均有一棵大核桃树，此村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘的面积扩大一倍，又保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形状，你认为该村能否实现这一设想？若能，请你设计并画出图形；若不能请说明理由．
8.已知：如图1―4―7在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上任 意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q. (1)求四边形AQMP的周长；
(2)写出图中的两对相似三角形（不需证明）；
(3)M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由.
9.用三种不同的方法把平行四边 形面积四等分．（在所给的图形图如图1－4－78中，画出你的设计方案，
画图工具不限）．
(二)特殊的四边形
（一）：【知识梳理】
1.性质：
（1）矩形：①矩形的四个角都是直角．②矩形的对角线相等．③矩形具有平行四边形的所有性质．
（2）菱形：①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角．③具有平
行四边形所有性质．
（3）正方形：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等．②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平
分，每条对角线平分一组对角．
2.判定：
（1）矩形：①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的平行四边形是矩形．③有三个角是直
角的四边形是矩形．
（2）菱形：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形．②一组邻边相等的平行四边形是菱形．③四条边都相
等的四边形是菱形．
（3）正方形：①有一个角是直角的柳是正方形．②有一组邻边相等的矩形是正方形．③对角线相等的菱形
是正方形．④对角线互相垂直的矩形是正方形．
3.面积计算：
（1）矩形：S=长×宽；（2）菱形：S? （3）正方形：S=边长
4.平行四边形与特殊平行四边形的关系 二：【经典考题剖析】
2
2
1l1?l2（l1、l2是对角线） 2 1.下列四边形中，两条对角线一定不相等的是（ ）
A．正方形B．矩形C．等腰梯形D．直角梯形
2.周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（ ） A．98 B． 96 C．280 D．284
3.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80 ，AB的垂直平分线EF交 对角线A C于点F、E为垂足，连结DF，则∠CDF等于（ ） A．80° B．70° C．65° D．60°
4.如图，小明想把平面镜MN挂在墙上，要使小明能从镜子里看
见自己的脚？问平面镜至多离地面多高？（已知小明身高1．60米）
5.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、
DA的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH为菱形，并说明理由， 添加的条件__________，理由： 三：【课后训练】
1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．四个角都是直角；B．对角线相等；C．对角线互相平分；D．对角线互相垂直
2.如图，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB和AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个最大的正方形，他的判断方法是________-
3.如图，在菱形ABCD中，AC、BD相交于点 O，且CA：BD=l：3 , 若AB=2，求菱形ABCD的面积．
4.如图，以△ABC的三边长为边在 BC的同一侧分别作三个等边三角形， 即△ABD、△ACF、△BCE，请回答下列问题： （1）四边形ADEF是什么四边形？
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？
5.在一次数学兴趣小组活动中，组长将两条等宽的长纸条倾斜地重 叠着，并问同学，重叠部分是一个什么样的四边形？同学说：这是 一个平行四边形．乙同学说：这是一个菱形．请问：你同意谁的看 法要解决此题，需建构数学模型，将实际问题转化成数学问题来解决，
即已知：如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，边CD与边BC上的高相等，试判断四边形 ABCD的形状．
6.检查你家（或教室）的门框（或方桌面）是不是矩形，如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查？并解释其中的道理。
○
7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90 ，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE的延长线上，并且AF=CE．
（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
3
（2）当上B的大小满足什么条件时，
四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论； （3）四边形ACEF有可能为正方形吗？为什么？
8.如图，矩形ABCD中，AC与 BD交于 O点，BE⊥AC于 E，CF⊥BD于 F．求证：BE=CF．
9.如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，对角线AC上有一个动点P（不包括点A和点C）．设AP＝x，四边形PBCD的面积为y．
（1）写出y与x的函数关系，并确定自变量x范围． （2）有人提出一个判断：“关于动点P，⊿PBC面积与
ΔPAD面积之和为常数”．请你说明此判断是否正确，并说明理由
10.如图，在矩形AB CD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P对同时出发，用t(秒）表示移动的时间（0＜t＜6），那么：
（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
（2）求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论
四边形有关证明和计算
1.如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点E,?DAB=?CDB=90?,?ABD=45?,∠
DCA=30?,AB?6.求AE的长和△ADE的面积．
2．如图，菱形ABCD的一条对角线BD上一点O，到菱形一边AB的距离为2，那么点O到另外一边BC的距离为_________.
3.在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连 接EM并延长交线段CD的延长线于点F. （1）如图1，求证：ME=MF；
4
A B · O C
D
（2）如图2，点G是线段BC上一点，连接GE、GF、GM，若△EGF是等腰直角三角形，
∠EGF=90°，求AB的长；
（3）如图3，点G是线段BC延长线上一点，连接GE、GF、GM， 若△EGF是等边三角形，求AB的长.
5．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，∠C=45°.
若AD=2，BC=8，则AB的长为 ．
6．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O， AC⊥AB，AB=2，且AC︰BD=2︰3． (1) 求AC的长； (2) 求△AOD的面积．
7. 如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，
∠AED=2∠CED，点G是DF的中点．
（1）求证：∠CED=∠DAG；
（2）若BE=1，AG=4，求sin?AEB的值．
8已知：如图，在四边形ABCD中，DC?AD，△DBC是等边三角形，
AD?ABD?45?，AD?2.求四边形ABCD的周长.
BC5