2.4分析研究的深入
法国的数学家,尤其是拉普拉斯和泊松,他们对概率论的研究很快被人们了解,而且在俄国取得了进一步的发展。保险业,人口统计,对观测的数学处理以及数学发展内在逻辑的需要,这些都促进了概率论在俄国的发展。
从雅各布·伯努利到切比雪夫以及马尔可夫等数学家,他们对大数定律的研究实质上是对大数定律条件的推广,即扩大了满足大数定律的随机变量序列的范围,其科学
价值在于发现了大数定律的一般条件,而这揭示了平均值的统计稳定性,即随机的规
律性。
2.5公理化思想
最早对概率论进行公理化尝试的是俄国数学家伯恩斯坦和奥地利数学家米泽斯。1927年伯恩斯坦发表了一篇“论概率论的公理化基础”的文章，同年的《概率论》第一版出版。该书给出了一个详细的概率论公理体系。伯恩斯坦在这里引进了三个公理:（1）概率的可比较性公理（2）不相容事件公理 (3) 事件组合公理，他们构造了概率论的整个大厦。
从20世纪20年代开始，通过对概率论基本概念—事件与概率的仔细分析，人们发现事件的运算与集合的运算完全类似概率与测度有相同的性质。在这其中成就最卓越的是原苏联数学家柯尔莫戈洛夫，他通过函数论的方法和概念，建立大数定律的充分必要条件。
法国数学家莱维(1886-1971)，原苏联数学家辛钦，日本数学家伊藤清(1915-)等又在公理化基础上取得了一系列理论突破。如，莱维从样本函数角度研究随机过程的思想，辛钦证明了重对数律，20世纪40年代伊藤清率先对布朗运动引进随机积分由此建立了概率论的一个新分支—随机分析学。
简言之，公理化就是将概率概念从具体频率解释抽象出来，然后再从公理化系统回到现实世界之中。这样，概率论的应用范围大大拓宽了。
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第3章 概率论思想的应用
3.1前言
概率论现在是一门应用相当广泛的学科，其思想方法渗透到自然科学和社会科学等多个方面，因为它属于数学的一门重要分支，所以与数学的相关知识联系相当紧密，所以接下来将简单介绍概率论在医学，不等式证明，数学公式及定理的推导中的妙用。
3.2与数学建模思想的融合
数学建模是用数学符号表示出来的一个或一组数学表达式，以及图表、图像、图示等，描述现实系统特征及其内在联系的一种抽象工具其中包括问题的简化与假设，模型的建立与求解，模型的分析与评价及模型的检验与应用。而在现实生活和生产实践中，模型的应用无处不在，而这些模型中有很多是概率模型，可以说，概率模型是来源于实践又最快地应用于实践。
概率论的出现主要与赌资分配有关，举一个简单的情形:甲、乙两个人赌博，投掷一枚均匀硬币，猜正反面.两人各拿出100元，共200元，约定谁先胜3局，则甲赢得全部赌注200元.因为某种原因，在赌完3局之后，赌局被中断，此时甲2胜1负，问这200元赌资该如何分配，才算公平.这个问题可以在第一次课时留给大家思考，而在学完等可能概型及全概率公式之后，给出两种计算方法.
对于等可能概型，甲、乙两人只要赌完5局，一定有人可以赢得赌资.已赌3局，后2局有4种可能结果，这些结果中甲赢的有3种，乙赢只有1种，所以赌注的公平分配应按3:1的比例，即甲得150元，乙得50元.
对于全概率公式，若甲、乙进行第4局，甲胜和甲负构成完备事件组，甲胜则赢得全部赌资，若负，甲在第5局胜的概率也为胜，所以甲赢得全部赌资的概
1113?1???244，结果与使用等可能概型的方法一致. 率为2
3.3临床诊断的应用
问题：常用检测手段用于人群普查时为什么失灵”
对一些病人的诊断中，医生根据病人的口述及表现，再加上临床经验，作出
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大体的判断，再进一步做化验或检查，依据结果，就能做出较准确的判断。此时，化验或检查的准确率相当高。但是在人群普查时，这些化验或检查手段往往失灵”，增加患者心理负担，也使人怀疑这些检测手段是否可靠。事实上，由贝叶斯公式，这些问题都能得到圆满解答。
例：假如患肺结核的人通过胸透能被诊断出患肺结核病的概率是0. 95，而没有患肺结核的人通过胸透被误诊为患肺结核的概率是0. 002。又设某人群患肺结核的概率是0. 001,现在对该人群进行普查，若有一人进行胸透检查被诊断为患肺结核，试问他确实患肺结核的概率是多少?
解:设事件D表示事实上确患肺结核”，事件T表示驹透检查诊断他患肺结核”。依题意可知:
P?CD?=0. 001, P(D)=0. 999;P(T|D)?0.95,P(T|D)?0.05,P(T|D)?0.998,P(T|D)?0.002 用全概率公式得：
P(T)?P(D)?P(T|D)?P(D)?P(T|D)?0.002948 用贝叶斯公式得:
P(D|T)?P(D)?P(T|D)P(T)?0.001?0.95/0.002948?0.32225
通过实验表明，即使检查手段的灵敏度和特异度都较高，检测结果的准确率也只有32%。
其实，许多有经验的医师其实都是不自觉的概率统计学者。临床医学的特点决定了它与概率统计的关系。所以，如果一位青年医务工作者或者医学科学工作者能够掌握概率统计的方法，并把它作为工具来分析实验结果或临床中遇到的一些问题，那么他一定可以在短时间内成为较有经验的医师或医学科学家。
3.4不等式的证明
证明不等式是初等数学的难点，如果能灵活运用概率的概念、公式和性质，恰当地构造事件或者随机变量，就可以证明一些不等式，达到意想不到的效果。下面举一个实例来说明这个问题。
???????an?设?an??,bn?均为正的收敛数列，则??bn????anbn?????b???i?1??i?1??i?1n?
?2证明：对于正的收敛数列?an?,也可以构造离散型随机变量P（??an）?Ck?0,显然?Ck?1i?1?
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再利用随机变量?的数学期望和其函数1?的数学期望的乘积不小于1，即E??E1??1
bn????ncn??得??ancn????1,选取C??0代入上式即可证得?n??a??i?1??i?1n??bni?1
利用概率论的思想方法证明等式、不等式等数学公式有一定的优越性，其关 键问题是根据式子的具体形式如何构造出概率模型，再利用概率的有关概率分布、性质、中心极限定律、大数定律等来解决问题，同时我们还发现，运用概率论思想来证明问题时其方法的简捷、独特，值得我们恰当利用概率思想分析以前的数学问题，寻求解法创新，有助于加深对概率知识的理解和掌握。
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结论
概率论是数学学科的一门重要分支，凭借独特的思想性和广泛的应用性越来越受到人们的青睐，随着科技的发展和社会的进步，概率论不仅仅局限于数学方面的单一应用，它的作用在更多的方面得到了发挥，如临床诊断，统计学，大数据等，从数据中挖掘出更多值得利用的东西，更大的程度上给人们的生活带来了更多方便。
在日常教学中，概率论这门课一般在大学里开设，有了高等数学的工具，概率论的计算有了解决方法，而在这门课的学习中，最重要的是思想的理解与应用，所以对于学生来说想学好这门课，重中之重是思想方法的掌握，这样才算是找到进入概率论的最好捷径，切记不要单纯地背公式，最后根本没有掌握概率论的核心，最后只是徒劳；因此对于老师来说较重要的也是将教学重点放在思想的传授，在课堂教学中较重要的是所用定理的证明的“推导”在推导中让学生更好地领会所用的思想方法，这样才能使学生更好地理解。
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