容斥原理
知识框架图 7-7-1两量重叠问题 7-7-2三量重叠问题 7 计数综合 7-7 容斥原理 7-7-3图形中的重叠问题 7-7-4容斥原理在数论问题中的应用 7-7-5容斥原理中的最值问题
教学目标
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．
知识要点
一、两量重叠问题
在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：AB?A?B?AB(其中符号“
”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“
”读
作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A表示小圆部分，
B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积．
1．先包含——A?B 重叠部分A B计算了2次，多加了1次； A?B?AB7-7.容斥原理.题库 学生版 page 1 of 15
1AB
包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集AB的元素的个数，可分以下两步进行：
第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求A?B(意思是把A、B的一切元素都“包含”进
来，加在一起)；
第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C?AB(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．
二、三量重叠问题
A类、B类与C类元素个数的总和?A类元素的个数?B类元素个数?C类元素个数?既是A类又是B类
的元素个数?既是B类又是C类的元素个数?既是A类又是C类的元素个数?同时是A类、B类、C类的元素个数．用符号表示为：ABC?A?B?C?AB?BC?AC?ABC．图示如下：
图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数，
C1．先包含：A?B?C 重叠部分AB、BC、C多加了1次． A重叠了2次，
2．再排除：A?B?C?AB?BC?AC
ABCAB?BC?AC3A?B?C?在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．
A?B?C?AB?BC?AC?ABC
例题精讲
模块一、两量重叠问题
【例 1】 实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小
组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？（2级）
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ACB
【巩固】 芳草地小学四年级有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画
的分别有多少人？（2级）
ACB
【巩固】 四(二)班有48名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有30人，写完数学作业的有20人，语文
数学都没写完的有6人．
⑴ 问语文数学都写完的有多少人？
⑵ 只写完语文作业的有多少人？ （2级）
【例 2】 某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了．这
个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？（2级）
【巩固】 四年级一班有45人，其中26人参加了数学竞赛，22人参加了作文比赛，一12人两项比赛都参加了．
班有多少人两项比赛都没有参加？（2级）
【巩固】 实验二校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有10人，能表演跳舞的有18人，两种都能表演的有7
人．这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？（2级）
【例 3】 某次英语考试由两部分组成，结果全班有12人得满分，第一部分有25人做对，第二部分有19人有
错，问两部分都有错的有多少人？（4级）
只做对第一部分的两部分全对的只做对第二部分的两部分都有错的
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【例 4】 对全班同学调查发现，会游泳的有20人，会打篮球的有25人．两项都会的有10人，两项都不会的
有9人．这个班一共有多少人？（4级）
会游泳的A两项都会的B会打篮球的两项都不会的
【巩固】 某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有32人，参加军棋比赛的有28人，有18人两项比赛都
参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？（4级）
只参加象棋比赛的两项比赛都参加的A只参加军棋比赛的B
【例 5】 在46人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有18人，既采了樱桃又采了杏的有7人，既没采樱桃又
没采杏的有6人，问：只采了杏的有多少人？（4级）
A既采樱桃又采杏的B既没采樱桃又没采杏的
【例 6】 甲、乙、丙三个小组学雷锋，为学校擦玻璃，其中68块玻璃不是甲组擦的，52块玻璃不是乙组擦
的，且甲组与乙组一共擦了60块玻璃．那么，甲、乙、丙三个小组各擦了多少块玻璃？（4级）
【例 7】 育才小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的，五、
六年级共展出25幅画，其他年级的画共有多少幅？（4级）
乙A丙B甲
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【例 8】 47名学生参加数学和语文考试，其中语文得分95分以上的14人，数学得分95分以上的21人，两
门都不在95分以上的有22人．问：两门都在95分以上的有多少人？（4级）
语文95分以上的两门都不在95分以上的A两门95分以上的数学95分以上的B
【巩固】 (第二届小学迎春杯数学竞赛)有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，
83人懂俄语．问既懂英语又懂俄语的有多少人？ （4级）
【例 9】 一个班48人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一种是完成数学作
业没完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了．已知做完语文作业的有37人；做完数学作业的有42人．这些人中语文、数学作业都完成的有多少人？（4级）
【巩固】 四年级科技活动组共有63人．在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师
到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人．每个同学都至少完成了一项活动．问：同时完成这两项活动的同学有多少人？（4级）
【巩固】 科技活动小组有55人．在一次制作飞机模型和制作舰艇模型的定时科技活动比赛中，老师到时清
点发现：制作好一架飞机模型的同学有40人，制作好一艘舰艇的同学有32人．每个同学都至少完成了一项制作．问两项制作都完成的同学有多少人？（4级）
ACB
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