伯努利方程的原理及其应用
摘要：伯努利方程是瑞士物理学家伯努利提出来的，是理想流体做稳定流动时的基本方程，是流体定常流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。伯努利方程对于确定流体内部各处的压力和流速有很大意义，在水利、造船、航空等部门有着广泛的应用。
关键词：伯努利方程 发展和原理 应用
1.伯努利方程的发展及其原理：
伯努利方程是瑞士物理学家伯努利提出来的，是理想流体做稳定流动时的基本方程，流体定常流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。对于确定流体内部各处的压力和流速有很大意义，在水利、造船、航空等部门有着广泛的应用。伯努利方程的原理，要用到无黏性流体的运动微分方程。
无黏性流体的运动微分方程：
无黏性元流的伯努利方程：
实际恒定总流的伯努利方程：
p1?1v21p2?2v22z1++=z2+++hw
2g2g?g?g
总
流
伯
努
利
方
程
的
物
理
意
义
和
几
何
意
义
：
Z----总流过流断面上某点（所取计算点）单位重量流体的位能，位置高度或高度水头；
p----总流过流断面上某点（所取计算点）单位重量流体的压能，测压管高度或压强?g水头；
?v2----总流过流断面上单位重量流体的平均动能，平均流速高度或速度水头； 2ghw----总流两端面间单位重量流体平均的机械能损失。 总流伯努利方程的应用条件：（1）恒定流；（2）不可压缩流体；（3）质量力只有重力；（4）所选取的两过水断面必须是渐变流断面，但两过水断面间可以是急变流。（5）总流的流量沿程不变。 （6）两过水断面间除了水头损失以外，总流没有能量的输入或输出。 （7）式中各项均为单位重流体的平均能（比能），对流体总重的能量方程应各项乘以ρgQ。
2.伯努利方程的应用:
伯努利方程在工程中的应用极其广泛，下面介绍几个典型的例子：
※文丘里管：文丘里管一般用来测量流体通过管道时的流量。新一代差压式流量测量仪表，其基本测量原理是以能量守恒定律——伯努力方程和流动连续性方程为基础的流量测量方法。内文丘里管由一圆形测量管和置入测量管内并与测量管同轴的特型芯体所构成。特型芯体的径向外表面具有与经典文丘里管内表面相似的几何廓形，并与测量管内表面之间构成一个异径环形过流缝隙。流体流经内文丘里管的节流过程同流体流经经典文丘里管、环形孔板的节流过程基本相似。内文丘里管的这种结构特点，使之在使用过程中不存在类似孔板节流件的锐缘磨蚀与积污问题，并能对节流前管内流体速度分布梯度及可能存在的各种非轴对
称速度分布进行有效的流动调整（整流），从而实现了高精确度与高稳定性的流量测量。它是由截面逐渐收缩，然后再逐渐扩大的一段短管组成的，最小截面称为喉部，经典文丘里管如图-1所示。
图-1
在文丘里管收缩段钱的直管段截面1和截面2两处测量静压差，根据静压差和两个截面的面积即可计算通过管道的流量。
需要注意的是，由于收缩段的能量损失要比扩张段小得多，所以不能用扩张段的压强改变来计算流量，以免增大误差。
※皮托管：毕托管又叫皮托管，是实验室内量测时均点流速常用的仪器。这种仪器是1730年由享利·毕托(Henri Pitot)所首创，后经200多年来各方面的改进，目前已有几十种型式。
对于不可压缩流动，根据伯努利方程和能量方程可求出气流马赫数，进而再求速度。但在超声速流动中，毕托管头部出现离体激波，总压孔感受的是波后总压，来流静压也难以测准，因而毕托管不再适用。总压孔有一定面积，它所感受的是驻点附近的平均压强，略低于总压，静压孔感受的静压也有一定误差，其他如制造、安装也会有误差，故测算流速时应加一个修正系数ζ。ζ值一般在0.98～1.05范围内 ，在已知速度之气流中校正或经标准皮托管校正而确定。毕托管结构简单，使用方便，用途很广。如飞机头部或机翼前缘常装设皮托管，测量相对空气的飞行速度，又称空速管。
普朗特毕托管的构造如图-2所示，由图可以看出这种毕托管是由两根空心细管组成。正对流速v的细管为总压管，总压管周围为测压管。量测流速时使总压管下端出口方向正对水流流速方向，测压管下端出口方向与流速垂直。在两细管上端用橡皮管分别与压差计的两根玻璃管相连接。
图-2
用毕托管可以测得总压管管口处的流速为V=2gh
优点：能测得流体总压和静压之差的复合测压管。
结构简单，使用、制造方便，价格便宜，只要精心制造并严格标定和适当修改，在一定的速度范围之内，它可以达到较高的测速精度。
缺点：用毕托管测流速时，仪器本身对流场会产生扰动，这是使用这种方法测流速的一个缺点。
※孔板流量计:孔板流量计是节流式流量计的一种，它的主要部件是一块中间带有圆孔的圆形不锈钢板，装在需要测量的管道上，孔板前后有取压孔分别于压差计的两端相连接，如图-3所示：
图-3
由于孔板的节流作用，流束在孔板前开始收缩，而在孔板后某一距离处才达到最小截面，然后又逐渐扩大到整个管道截面。由于通流面积的减小，流速增大，静压强下降，同时伴随有能量损失，而且这种能量损失将随着流速的增大而增大。因此，只要测出孔板前后的静压差，即可根据伯努利方程计算出通过管道的流量。
流量测量的发展可追溯到古代的水利工程和城市供水系统。古罗马凯撒时代已采用孔板测量居民的饮用水水量。公元前1000年左右古埃及用堰法测量尼罗河的流量。我国著名的
都江堰水利工程应用宝瓶口的水位观测水量大小等等。17世纪托里拆利奠定差压式流量计的理论基础，这是流量测量的里程碑。自那以后，18、19世纪流量测量的许多类型仪表的雏形开始形成，如堰、示踪法、皮托管、文丘里管、容积、涡轮及靶式流量计等。20世纪由于过程工业、能量计量、城市公用事业对流量测量的需求急剧增长，才促使仪表迅速发展，微电子技术和计算机技术的飞跃发展极大地推动仪表更新换代，新型流量计如雨后春笋般涌现出来。至今，据称已有上百种流量计投向市场，现场使用中许多棘手的难题可望获得解决。
孔板流量计广泛应用于石油、化工、冶金、电力、供热、供水等领域的过程控制和测量。孔板流量计被广泛适用于煤炭、化工、交通、建筑、轻纺、食品、医药、农业、环境保护及人民日常生活等国民经济各个领域，是发展工农业生产，节约能源，改进产品质量，提高经济效益和管理水平的重要工具在国民经济中占有重要的地位。在过程自动化仪表与装置中，流量仪表有两大功用：作为过程自动化控制系统的检测仪表和测量物料数量的总量表。
利用孔板流量计计算出来的流量为
qv=a·A0·2g（ρ0?ρ) ρ其中，a为孔板的流量系数，可有实验测得，孔板的流量系数a列于表-1：
表-1 m 50mm 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.6128 0.6126 0.6220 0.6293 0.6387 0.6492 0.6607 0.6764 0.6934 0.7134 0.7355 100m 0.6092 0.6117 0.6171 0.6238 0.6327 0.6428 0.6541 0.6695 0.6859 0.7056 0.7272 管径 d 200m 0.6043 0.6069 0.6119 0.3183 0.6269 0.6368 0.6479 0.6631 0.6794 6987 0.7201 》300mm 0.6010 0.6034 0.6086 0.6150 0.240 0.6340 0.6450 0.6600 0.6760 0.6950 0.7160 Re*1 2.3×104 3.0×104 4.5×104 5.7×104 7.5×104 9.3×104 11.0×104 13.0×104 16.0×104 18.5×104 21.0×104 0.60 0.65 0.70 0.7610 0.7909 0.8270 0.7523 0.7815 0.8870 0.7447 0.7733 0.8079 0.7400 0.7680 0.8020 24.0×104 27.0×104 30.0×104
※小孔非定向流动:在盛有液体的容器的侧壁或底部开一孔口，或在孔口上装一段长度为3-4倍孔径的短管，即管嘴，液体经孔口或者管嘴流出。容器在变水头下的泄水或充水是工程中经常遇到的问题，此时自由液面逐渐下降或升高，形成小孔或管嘴的非定常流动。讨论小孔非定常流动主要解决容器内液体流出或流入时间的计算问题。
引用文献：
1. 流体力学（第二版） 刘鹤年 主编
2. 伯努利及伯努利方程的应用 于学昌 《中学物理教学参考》2001年 第七期
3. 伯努利方程的原理及应用浅析 陈燕黎 《漯河职业技术学院院报》2012年 第二期 4. 流体力学 王松岭 主编
5. 流体力学 施永生 徐向荣 主编