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四、思考题解答
1、同一过程中的某一个力做的功，比如，你在匀速运动的卡车上把木箱
拉动一段距离时，你的拉力做的功，其大小与参考系的选择有关吗？ 答：同一个力做的功在不同的参考系中计算是不同的，即功与参考系有关。木箱受到的力F的作用点在地面参考系和卡车参考系中的位移是不同的，所以力F的功也就不同了。
2、一个物体的机械能和参考系有关吗？
答：由于不同的参考系中，同一个物体在同一时刻的速度是不同的，所以它的动能不同。一个系统的机械能是系统中物体动能和势能之和。势能是和参考系无关的，而动能又与参考系相关，所以机械能与参考系有关。动能定理是由牛顿第二定律导出，牛顿第二定律与参考系无关，所以动能定理也与参考系无关。
五、习题精解
4.1、有一劲度系数为k的轻弹簧，原长为l0，将它吊在天花板上．当它下端挂一托盘平衡时，其长度变为l1．然后在托盘中放一重物，弹簧长度变为l2，则由l1伸长至l2的过程中，弹性力所做的功为
(A) ?(C) ???l2l1kxdx． (B)
?l2l1kxdx．
l2?l0l1?l0l2?l0l1?l0kxdx． (D)
?kxdx． ［ C ］
l2解答：∵外力做功，使弹簧伸长，弹性力所做的负功A??Fdx，F??kx
l1∴弹性力所做的功为??l2?l0l1?l0kxdx，故（C）为正确答案。
4.2、一个质点同时在几个力作用下的位移为：
??????r?4i?5j?6k (SI)
????F??3i?5j?9k其中一个力为恒力 (SI)，则此力在该位移过程中所作的功为
(A) ?67 J． (B) 17 J．
(C) 67 J． (D) 91 J． [ C ]
解：∵功的定义为：A?F??r，则A?(?3i?5j?9k)?(4i?5j?6k) 由矢量代数知识可知：i?i?1,j?j?1,k?k?1;i?j?i?k?j?k?0 ∴A?(?3)?4?(?5)?(?5)?9?6?67J，故（C）为正确答案。
4.3、在由两个物体组成的系统不受外力作用而发生非弹性碰撞的过程中，系统的 ： (A) 动能和动量都守恒． (B) 动能和动量都不守恒． (C) 动能不守恒，动量守恒． (D) 动能守恒，动量不守恒. ［ C ］ 解：∵两个物体组成的系统不受外力作用，动量守
A恒；而发生非弹性碰撞的过程中有形变发生伴随着能量的
损失，所以动能不守恒，故（C）为正确答案。 B?4.4、质点的质量为m，置于光滑球面的顶点A处(球
面固定不动)，如图所示．当它由静止开始下滑到球面上B
点时，它的加速度的大小为：(A) a?2g(1?cos?)．
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(B) a?gsin?． (C) a?g． (D) a?4g2(1?cos?)2?g2sin2?/sinθ． [ D ]
解：分析——第一、将质点、光滑球面和地球组成一个系统，在质点运动的整个过程中，无外力做功，机械能守恒。第二、质点沿光滑球面做圆周运动，加速度为向心加速度与重力加速度之合成。
11、机械能守恒：mg(R?Rcos?)?mV2，V2?2gR(1?cos?) ??（1）
2V22g(1?cos?)2、质点沿光滑球面做圆周运动：an?，an? ??（2）
Rsin?sin?g23、加速度合成：a?an?g2?。 4(1?cos?)2?sin2?，选（C）
sin???4.5、质量m＝2 kg的质点在力F?12ti(SI)的作用下，从静止出发沿x轴正向作直线运动，求前三秒内该力所作的功．
??解： A??F?dr??12tvdt 1分
而质点的速度与时间的关系为:v?v0??adt?0??0t?33所以力F所作的功为 A??12t(3t2)dt??36t3dt=729 J 2分
00t12Fdt??tdt?3t2 2分 0m02t4.6、关于机械能守恒条件和动量守恒条件有以下几种说法，其中正确的是：
(A) 不受外力作用的系统，其动量和机械能必然同时守恒． [ C ] (B) 所受合外力为零，内力都是保守力的系统，其机械能必然守恒．
(C) 不受外力，而内力都是保守力的系统，其动量和机械能必然同时守恒．
(D) 外力对一个系统做的功为零，则该系统的机械能和动量必然同时守恒． 解答：∵ 该系统的机械能和动量同时守恒的条件是：合外外力为零，而内力都是保守力的情况下，系统的机械能和动量才能同时守恒，∴C）为正确答案。 4.7、如图所示，质量分别为m1和m2的物体A和B，置于光滑桌面上，A和B之间连有一轻弹簧．另有质量为m1和m2的物体C和D
CD分别置于物体A与B之上，且物体A和C、B和D之间
AB的摩擦系数均不为零．首先用外力沿水平方向相向推压A和B，使弹簧被压缩．然后撤掉外力，则在A和B弹开的
过程中，对A、B、C、D弹簧组成的系统
(A) 动量守恒，机械能守恒． (B) 动量不守恒，机械能守恒． (C) 动量不守恒，机械能不守恒．
(D) 动量守恒，机械能不一定守恒． [ B ] 解答：∵动量守恒的条件是：孤立系统所受合外力为零，该系统初态时受外力作用，所以动量不守恒；机械能守恒的条件是：能量没有损耗。∴（B）为正确答案。
??4.8、某质点在力F＝(4＋5x)i (SI)的作用下沿x轴作直线运动，在从x＝0
?移动到x＝10 m的过程中，力F所做的功为___190 J，_______．
rx3?(10)2?190J。 解：∵A??F?dr??(4?3x)dx?4?10?2r0x0 43
4.9、光滑水平面上有一轻弹簧，劲度系数为k，弹簧一端固定在O点，另一端拴一个质量为m的物体，弹簧初始时处于自由伸长状态，若此时给物体m
?一个垂直于弹簧的初速度v0如图所示，则当物体速
1率为v 0时弹簧对物体的拉力f
2v=_______03km___________．
2解：∵系统的能量没有损耗，机械能守恒：
2O1v?v02m?v0m
11v12，f?kx ??（2） mv0?m(0)2?kx2 ??（1）
2222联立（1）和（2）式解得：f =
v03km。 24.10、一弹簧原长l0＝0.1 m，劲度系数k＝50 N／m，其一端固定在半径为R＝0.1 m的半圆环的端点A，另一端与一R套在半圆环上的小环相连．在把小环由半圆环中点B移到另CAO一端C的过程中，弹簧的拉力对小环所作的功为_____－
0.25________ J．
解：1、∵无外力的情况下，弹簧不可能将小环由B移动到C，所以小环拉力对小环所作负功。
2、∵已知l0＝0.1 m=R，将小环由B移动到C，弹簧伸长为`?x?0.1m，拉
11力对小环所作的负功为弹性势能的增量：A??k(?x)2???50?0.12?0.25J
224.11、一根长为l的细绳的一端固定于光滑水平面上的O点，另一端系一质量为m的小球，开始时绳子是松弛的，小球与O点的距
v离为h．使小球以某个初速率沿该光滑水平面上一直线运lO动，该直线垂直于小球初始位置与O点的连线．当小球与hO点的距离达到l时，绳子绷紧从而使小球沿一个以O点
v0为圆心的圆形轨迹运动，则小球作圆周运动时的动能EK
2 2
与初动能EK0的比值EK / EK0 =_____ h /l ____．
参考解：由质点角动量守恒定律有：h m v 0 = l mv 即 v / v 0 = h / l 则动能之比为 EK / EK0 = h2 /l 2
?v0
4.12、有一宇宙飞船，欲考察某一质量为M、半?R?m径为R的星球，当飞船距这一星球中心5R处时与星球Mv相对静止．飞船发射出一质量为m（m< 定??角，需设定仪器舱掠过星球表面时的速度v，并列出两个方程．它们是 121____5mv0Rsin??mvR___与_mv0?GMm/(5R)?mv2?GMm/R___． 22解：1、∵在仪器舱和星球组成的系统中，合外力矩为零， B 44 ∴角动量守恒：5mv0Rsin??mvR??（1） 1212、该系统的机械能守恒：mv0?GMm/(5R)?mv2?GMm/R??（2） 224.13、一质量为m的质点在Oxy平面上运动，其位置矢量为 ????r?acos?ti?bsin?tj(SI) 式中a、b、?是正值常量，且a＞b． (1)求质点在A点(a，0)时和B点(0，b)时的动能； ??(2)求质点所受的合外力F以及当质点从A点运动到B点的过程中F的分力??Fx和Fy分别作的功． ???解：(1)位矢 r?aco?sti?bsin?tj (SI)? 可写为 x?aco??t st ， y?bsindxdy vx???a?sin?t， vy???b?co?st dtdt11122在A点(a，0) ，cos?t?1，sin?t?0， EKA=mvx?mvy?mb2?2 22211122在B点(0，b) ，cos?t?0，sin?t?1， EKB=mvx?mvy?ma2?2 222?????22(2) F?maxi?mayj=?ma?cos?ti?mb?sin?tj? 由A→B Wx??Fxdx???m?aco?stdx=??m?2xdx?2aaa0001ma2?2 2bb12222= ?m?ydy??mb?。Fdy??m?bsin?tdy?0?0y?02 l?a 4.14、一链条总长为l，质量为m，放在桌面上，并使其部分下垂，下垂一段的长度为a．设链条与桌面之间的滑动摩a 擦系数为?．令链条由静止开始运动，则 (1)到链条刚离开桌面的过程中，摩擦力对链条作了多少功？(2)链条刚离开桌面时的速率是多少？ 解：(1)建立如图坐标. 某一时刻桌面上全链条长为y, y则摩擦力大小为：f??mg， l00m?mg20?mg摩擦力的功 Wf??fdy???gydy=yl?a =?(l?a)2 l?al?al2l2l112 (2)以链条为对象，应用质点的动能定理 ∑W＝mv2?mv0? 22lmglmg(l2?a2)xdx?其中 ∑W = W P＋Wf ，v0 = 0 ， WP =?Pdx=? ala2l?mg(l?a)2mg(l2?a2)?mg1?(l?a)2?mv2 由上问知 Wf??，所以 2l2l2l21g2222得 v???? (l?a)??(l?a)l4.15、质量为m的一只狗，站在质量为M的一条静止在湖面的船上，船头垂直指向岸边，狗与岸边的距离为S0．这只狗向着湖岸在船上走过l的距离停下来，求这时狗离湖岸的距离S（忽略船与水的摩擦阻力）． Wy?b?? 45 解：设V为船对岸的速度，u为狗对船的速度，由于忽略船所受水的阻力，狗与船组成的系统水平方向动量守恒： MV?m(V?u)?0 2分 mm?mudt?l 2分 即 V?u，船走过的路程为：L??Vdt??M?m0M?mM?m0ttMl 1分 M?m4.16、质量为M的木块静止在光滑的水平面上．质量为m、速率为v的子弹沿水平方向打入木块并陷在其中，试计算相对于地面木块对子弹所作的功W1及子弹对木块所作的功W2． 解：设子弹打入木块后二者共同运动的速率为V，水平方向动量守恒，有 mv?(m?M)V, V?mv/(m?M) 2分 Mm(M?2m)211v 2分 木块对子弹作的功 W1?mV2?mv2??2222(M?m)狗离岸的距离为 S?S0?(l?L)?S0?Mm212v2 1分 子弹对木块作的功 W2?mV?22(M?m)24.17、劲度系数为k的轻弹簧，一端固定，另一端与桌面上的质量为m的小球B相连接．用外力推动小球，将弹簧压缩一段距离L后放开．假定小球所受的滑动摩擦力大小为F且恒定不变，滑动摩擦系数与静摩擦系数可视为相等．试求L必须满足什么条件时，才能使小球在放开后就开始运动，而且一旦停止下来就一直保持静止状态． 解：取弹簧的自然长度处为坐标原点O，建立如图所示 B x 的坐标系．在t=0时，静止于x＝－L的小球开始运动的条O L B 件是 x kL＞F ① 2分 x 小球运动到x处静止的条件，由功能原理得 11 ?F(L?x)?kx2?kL2 ② 2分 222F由② 解出 x?L? k2F使小球继续保持静止的条件为 kx?kL??F ③ 2分 kF3F所求L应同时满足①、③式，故其范围为 kk4.18、当一质子通过质量较大带电荷为Ze的原子核附近 v0时，原子核可近似视为静止．质子受到原子核的排斥力的作用，rs+e它运动的轨道为双曲线，如图所示．设质子与原子相距很远时Ovs??b速度为v0，沿v0方向的直线与原子核的垂直距离为b．试求 质子与原子核最接近的距离rs．（提示：电荷q1，q2距为r时，带电系统的电势能为Kq1q2/r，式中K为常数；略去质子受到 的万有引力作用．） 解：以原子核为坐标原点，作用在质子上的力为有心力，故质子对O点的角