第八讲 离散最值与逻辑推理问题
在数学竞赛中，常会出现在自然数范围内变化的量的最值问题，称之为离散最值问题。解决这类非常规问题一般无统一的方法，对不同的问题要用不同的策略与方法。就具体的问题而言，大致可从极端分析、推理分析、枚举比较和构造估计来着手分析。 一、极端分析
1．一把钥匙只能开一把锁，现有4把钥匙和4把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次才能打开所有的锁？
2．一个布袋中有红、黄、绿三种颜色的小球各10个，这些小球的大小均相等，红球上标有“4”，黄球上标有“5”，绿球上标有“6”。小明从袋中取出8个球，它们的数字和为39，问其中最多可能有多少个球是红球？
3．红星小学的礼堂共有座位24排，每排有30个座位，全校有650名同学到礼堂开会，那么至少有多少排座位上的学生人数一样多？ 二、推理分析
1．形如19931993??1993??????520，且能被11整除的最小的n是多少？
n个19932．ABCD表示一个四位数，EFG表示一个三位数，A，B，C，D，E，F，G代表1至9中的不同的数。已知ABCD＋EFG＝1993，问：乘积ABCD×EFG的最大值与最小值的差是多少？
3．命题委员会为5∽10年级准备数学奥林匹克试题，每个年级各7道题，而且都恰好有4道题跟任何其他年级不同。试问，其中最多可以有多少道不同的试题？（指各个年级的不同试题加在一起）
4．把1993分成若干个互不相等的自然数的和，且使得这些自然数的乘积最大，该乘积是多少？
5．某城市设立1993个车站，并打算设立若干条公共汽车线路。要求 （1）从任何一站上车，至多换乘一次车就可到达城市的任一车站； （2）每个车站，至多是两条线路的公共站。 问这个城市最多可以开辟多少条公共汽车线路？ 三、枚举比较
1．某公共汽车从起点开往终点站，中途共有13个车站。如果公共汽车从起点开出，除终点站外，每个车站上车的乘客中，恰好各有一位从这站到以后每一站。为了使每位乘客都能有座位，那么这辆公共汽车最少应有多少各座位？
2．把19分成几个自然数（可以是相同的数）的和，再求出这些数的积，那么最大的乘积是多少？
3．设a和b是100之内不同的两个自然数，那么
a?b的最大值是多少？ a?b四、估计与构造
1．在10，9，8，7，6，5，4，3，2，1这十个数的每相邻两个数之间都添上一个加号或一个减号，组成一个算式。我们有两个要求：（1）算式等于37；（2）这个算式中所有减数（前面添了减号的数）的乘积尽可能的大。
2．设a1,a2,a3,a4,a5,a6表示1到6中6个不同的正整数。试用这六个数字分别组成两个三
1
位数，使它们的乘积最大。
3．将1∽9这九个数字填入下面地方格，且使积P最小： P＝□□□×□□□×□□□
4．采石场采出了200块花岗岩石料，其中有120块各重7吨，其余地每块各重9吨，每节火车皮至多可装载40吨，为了运出这批石料，至少需要多少节车皮？
5．把1，2，3，4，?，12十二个数围成一个圆圈，将任意两个相邻的数相加，得到的和都不超过整数n，n至少是多少？为什么？并给出一种满足你的结论的排法。 五、逻辑推理
1．在某个国家的大城市间建立航空网，任何一个大城市都与不多于三个城市有直达航班，而且从任何一个大城市到另外一个别的大城市最多只换乘一次飞机。问这个国家最多可能有几个大城市？
2．有一只骰子，每面分别有1，2，3，4，5，6六个数字，每次投掷后记下朝上的数字，然后将每次记下的数字累加起来，当总和大于12后就停止。问最后所得的总和最可能出现的是多少？
3．10把椅子放成一排，客人随时来到，并在空椅子上就坐，而每当此时，便有邻座中的一个客人起身离去（只要相邻的椅子上有人）。如果一开始10把椅子都是空的，试问：最多时多少把椅子上坐着人？
4．房间里有6个人，其中有些人总是说假话，另一些人总是说真话。第一个人说：“这里没有人说真话。”第二个人说：“这里至多有1人说真话。”第三个人说：“这里至多2个人说真话。”如此等等；第6个人说：“这里至多5个人说真话。”试问：房间里究竟有多少人说真话？
5．今有外观相同的25枚硬币，其中有3枚伪币和22枚真币，所有真币的重量都相等，所有伪币的重量也相等，但伪币轻于真币，现有一架无砝码的天平。试问任何称重量两次，以找出6枚真币来？
6．今有32块石头，重量各不相同，用一架无砝码的天平，只称35次，能否确定出其中重量为第一与第二的石头？
7．6个排球队进行单循环赛，现知各队的得分各不相同（比赛无平局，胜者得1分，负者不得分），且A队名列第三，B队名列第四。请问，在A、B两队比赛中，哪个队获胜？ 8．小骏家有三本影集分别属于爸爸、妈妈和小骏，一天小骏把影集封面上的标签全搞错了，试问小骏至少要翻开多少本影集才能把标签全还原？（每本影集上原有各自的标签）
9．一个长方形得学生队阵，先从每个纵列中选出最高得学生，再从这些学生中选出最矮得学生，称为甲；再从每一横队中选出最矮得学生并从这些学生中选出最高得学生为乙。试问：甲、乙两人谁高？
10．用3个砝码可以称出重量为1∽7各的物体，则这3个砝码得重量应为多少？
11．今有7个男孩，其中每一个在其余6个中至少有3个弟兄，那么这7个男孩之间得关系怎样？
12．6名来自不同国家的学生在一起聚会，请根据他们各自的情况安排在圆桌旁坐下，使相邻的两个学生都能交流： （1）中国学生会说英语；（2）法国学生会说日语；（3）英国学生会说俄语； （4）日本学生会说汉语；（5）美国学生会说俄语；（6）俄国学生会说法语。
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