▇ ▇ 数学分析
《数学分析Ⅰ》第2讲 教学内容：实数系的连续性
第二章 数列极限
§2.1实数系的连续性
一． 实数系的产生（历史沿革）
从人类历史的开始，人类就逐步认识了自然数，1，2，3，?，n，?
自然数集 整数集 有理数集 实数集
解决的减法解决对除法?????????? ? 的封闭性的封闭性解决对开方?????的封闭性? ? ?
对加法封闭 对加减乘封闭 对加减乘除封闭 对减法不封闭 对除法不封闭 对开方不封闭
2000多年前，毕达哥拉斯学派认为：有理数集是最完美的数集；世界上的万事万物都可以用有理数表示。
但是，毕达哥拉斯的一个“叛逆”的学生，发现了边界为1的正方形的对角线长度不是一个有理数，即
数轴上点c不是一个有理数点。
例2.1.1设c?2，试证明：c不是一个有理数。
2p，则q222p2?c2q2?2q2，所以2|p，不妨设p?2p1，故(2p1)?2q，所以2p1?q， 所以2|q，记q?2q1，即p?2p1，q?2q1，这与 (p,q)?1矛盾。从而c不
证明：若c是一个有理数，则?p,q?N，并且?p,q??1，有c?6
第2章 数列极限 █ █
是有理数。
命题2.1.1 一个数是有理数当且仅当它是一个有限小数或者无限循环小数。 证：(?)设x是一个有理数，即?p??,q??,?p,q??1,x??p1，因为qq是一个有限小数或者无限循环小数，所以x是有限小数或者无限循环小数。 (?) 设x是有限小数，x显然是有理数。若x为无限循环小数，例如：
x?0.123123.....，则
x?11123123123?1??123?...??...??...??...?3?6103n103106103n?1010?1310?12311?310?12341。 ?9993332是无限不循环小数，2不是有理数。
命题2.1.2
定义2.1.1 有限小数和无限循环小数（有理数）以及无限不循环小数（无理数）统称为实数，实数全体构成的集合称为实数系。
二． 实数的基本性质
1. 实数的运算性质（9个性质）
（1） 交换律：x?y?y?x，(?x,y??)
（2） 结合律：(x?y)?z?x?(y?z)，(?x,y,z??) （3） ?!实数0??使?x??，x?0?0?x
（4） ?x??，存在唯一y??使x?y?0，我们记y??x （5） 乘法交换律：xy?yx，(?x,y??) （6） 乘法结合律：(xy)z?x(yz)，(?x,y,z??) （7） ?!实数1??，使?x??，1?x?x
（8） ?x???{0}，存在唯一y??，使得xy?1，我们记y?x （9） 分配律：x(y?z)?xy?xz，(?x,y,z??)。 2. 实数的大小关系（4个关系） 对于(?x,y,z??)，下列4条成立 （1） 若x?y且y?z?x?z
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?1▇ ▇ 数学分析
（2） x?y，x?y，x?y三者必居其一且只居其一。 （3） y?x?y?x?0
（4） 若x?0,y?0，则x?y?0，xy?0。
三． 实数的确界性质
定义2.1.2 设S是至少包含一个实数的实数集合（即??S??），简称为非空数集。
（1） 数集S称为是有上界的数集，如果?M??，使得?x?S，有
x?M。
（2） 数集S称为是有下界的数集，如果?m??，使得?x?S，有x?m。
（3） 数集S称为是有界的数集，如果S是既有上界，又有下界的数集。 ★ 基本公理：有上界的整数集中必有最大元，有下界的整数集中必有最小
元。
例2.1.2 证明：任何非空有限数集（由有限个实数组成的集合）都是有界
数集。
证明：设S?{x1,x2,...,xn}是任一个非空有限数集，其中n??，记
M?max{x1,x2,...,xn}，m?min{x1,x2,...,xn}，则?xi?S， 恒有 m?x i?M即S既有上界又有下界，S是有界数集。
例2.1.3 证明：存在有最大数和最小数的数集，必是有界数集；反之，有界数集未必一定有最大数和最小数。
证明：（1） 设数集S有最大数M，有最小数m，即?x?S，x?M且
x?m，因此?x?S，m?x?M，故S是有界的。
（2） S?(0,1)是有界数集，因为?m??1，M?1，使?x?S??1?x?1，但是S?(0,1)无最大数，也无最小数。
?例2.1.4 证明：数集S是有界数集?????，使得?x?S，有|x|??，
其中?称为有界数集的一个界。
证：(?)设S有界，即?M??，m??，使?x?S，有m?x?M，故?x?S， ??1?m?M???m?m?x?M?M?M?m?1,即存在
实数??1?m?M?0，使?x?S，有x??。
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第2章 数列极限 █ █ 有x??，即?(?) 设?????，?x?S，????x，因此，?m???，?M??，有m?x?Mm?x?M，S既有上界M，又有下界m，所以S是
有界集。
命题2.1.1 任何有上界的数集，必有无穷多个上界；任何有下界的数集必有无穷多个下界。
公理 有上界的自然数（整数）集中必有最大元。
问题1 有上界的数集的无穷多个上界中存在有最小上界吗？有下界的数集的无穷多个下界中存在有最大下界吗？
为回答此问题，我们首先给出上确界和下确界的定义。
定义2.1.3 设S是一个非空数集，如果存在实数?，满足如下两个条件： （1）?x?S，有x??；
（2）???0，?x??S，使得x?????； 则称?是数集S的上确界，记为?＝supS。
（1）?x?S，有x??；
（2）???0，?x??S，使得x?????； 则称?是数集S的下确界，记为?＝infS。 必有下确界。
定义2.1.3’ 设S是一个非空数集，如果存在实数? ，满足如下两个条件： 定理2.1.1（确界存在定理）有上界的的数集必有上确界；有下界的的数集
作业P.32－33 1、2、3、4、5题
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