19.解x?1439 2分 y?2359 4分 a?17445 y?71745x?45 8分
（2）x?19时y?137145?30.47 所以英国金牌30块 12分
20．解：（Ⅰ）??x?2cos?,y?2sin??2. 且参数???0,2??，
?所以点P的轨迹方程为x2?(y?2)2?4． 4分
（Ⅱ）因为??10，所以?2sin(???)?10，2sin(???4 4)所以?sin???cos??10，所以直线l的直角坐标方程为x?y?10?0．8
分
由（Ⅰ） 点P的轨迹方程为x2?(y?2)2?4，圆心为(0,2)，半径为2．
d?分
1?0?1?2?101?122?42，所以点P到直线l距离的最大值42?2． 12
21．解：（I）调查的500位老年人中有70位封面 要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，
70?14%. 5分 需要帮助的老年人的比例的估计值为500500?(40?270?30?160)2?9.967. （II）K?200?300?70?4302由于9.967?6.635,所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与
性别有关。10分
（III）由（II）的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并
采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好。 12分
22．解：（Ⅰ）f?(x)?a??1xax?1， x1分
当a?0时，f?(x)?0在(0,??)上恒成立，函数f(x)在(0,??)单调递减， ∴f(x)在(0,??)上没有极值点； 当a?0时，f?(x)?0得0?x?3分
11， f?(x)?0得x?， aa1?1??1?∴f(x)在?0,?上递减，在?,???上递增，即f(x)在x?处有极小值． 5
a?a??a?分
∴当a?0时f(x)在(0,??)上没有极值点，当a?0时，f(x)在(0,??)上有一个极值点．
（Ⅱ）∵函数f(x)在x?1处取得极值，∴a?1， ∴f(x)?bx?2?1?1?lnxxx?b， 8分
令g(x)?1?1?lnxxx，可得g(x)在?0,e2?上递减，
10分
∴g(x)min?g(e2)?1?11e2，即b?1?e2． 12分 在?e2,???上递增，