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模块五 常见分布
一．常见的离散型随机变量
1.0?1分布
随机变量X所有可能的取值只有0或者1，且取1的概率为p?0?p?1?，取0的概率为1?p，则称该随机变量服从0?1分布.0?1分布的分布律为：
X 1 0 1?p P p 2.二项分布
伯努利试验：如果试验只有两个结果A（成功），A（失败），且每次试验成功的概率是不变的，则称这种试验为伯努利试验. 将一个伯努利试验独立重复地进行n次，则称n重伯努利试验.
设在每次试验中，P?A??p?0?p?1?，则在n重伯努利试验中事件A出现k次的概率：
kkPn?k??Cnp?1?p?n?k?k?0,1,2,?,n?.
n?kkk若随机变量X的概率分布为P?X?k??Cnp?1?p?,k?0,1,...,n，则称随机变量
X服从参数为?n,p?的二项分布，并记X?B?n,p?.
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注：若X?B?n,p?，那么X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，其中
P?A??p.
3.几何分布
若随机变量X的概率分布为P?X?k???1?p?k?1p,k?1,2,......，其中参数p满足
0?p?1，则称随机变量X服从参数为p的几何分布，并记X?G?p?.
注：若X?G?p?，那么X表示在伯努利试验中，某事件A首次发生时进行的试验次数，且P?A??p.
4.泊松分布
若随机变量X的概率分布为P?X?k???kk!e???k?0,1,2,??，其中参数??0，则
称随机变量X服从参数为?的泊松分布，并记X?P???.
【例1】大楼的楼道里有5盏路灯，在任意时刻，每盏路灯亮着的概率为0.1. 试计算，在同一时刻：
（1）有两盏灯亮着的概率； （2）至少有三盏灯亮着的概率； （3）至多有两盏灯亮着的概率.
2【答案】：（1）C5?0.1?0（3）C5?0.1?02?0.9?3，（2）C35?0.1?143?0.9?224+C5?0.1??0.9?+C55?0.1?， 3415?0.9?52+C15?0.1??0.9?+C5?0.1??0.9?
??cosx【例2】设连续型随机变量X的概率密度f(x)????0地进行3次观察，求至少有两次大于
0?x?其他?2，现对X独立
?的概率. 6中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料
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【答案】：
【例3】随机变量X?P???,Y?P?2??,P?X?1??【答案】：
【例4】随机变量X的分布律为P{X?k}?C【答案】：
【例5】有n把钥匙，只有一把是正确的，现逐一检验，直到找出正确的钥匙为止，求试验次数X的分布律.
【答案】：
1 21，求P?Y?1?. 524 25?kk!,k?1,2,3...求C
1
e??1
?1?P?X?k???1???n?k?11,k?1,2,......或 n2 3 … … X P 1 n?2 1 nn?1 2 n1 n1 n1 n
二．常见连续型随机变量
1.均匀分布
?1,a?x?b,?若随机变量X的概率密度为f?x???b?a，则称X服从区间?a,b?上
?其他.?0,的均匀分布，记为X?U?a,b?. 其分布函数：
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xF?x??????0, x?a,?x?a?f?t?dt??,a?x?b,
?b?a??1, x?b.2.指数分布
??e??x,x?0,若随机变量X的概率密度为f?x???其中参数??0，则称X服从参
x?0.?0,数为?的指数分布，记为X?E???.
?1?e??x,x?0,注：（1）X?E???，则分布函数F?x???.
其他.?0,（2）X?E???，则
P?X?X1?X2?e???x1?x2?P?X?X1?X2X?X1?????x1?e??x2?P?X?X2?，这
P?X?X1?e是指数分布的重要性质：“无记忆性”.
3.正态分布
1)定义
若随机变量X的密度函数为f?x??1e2????x???22?2?x?R?，其中参数??R,??0，
则称X服从正态分布，记为X?N?,?2. 特别地，将N?0,1?称为标准正态分布，其概
x1?t21?x2率密度和分布函数分别记作?(x)?edt. e与?(x)????2?2?22??2)常用性质
（1）X?N?,?2，则要思路：标准化.
（2）正态分布N?,?2具有对称性，也即其概率密度是关于直线x??对称的.特别地，标准正态分布的概率密度是偶函数；该性质也可以概括成等式：???x????x??1.
??X????N?0,1?. 该公式揭示了求解正态分布问题的一个重
??中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料
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【例6】设随机变量X?U?0,6?，试计算方程t?Xt?2?0无实根的概率.
2【答案】
3?2 3【小结】均匀分布中的概率等于长度比.
【例7】设随机变量X?E???，则P?X?【答案】：e
【例8】设随机变量X?N10,0.022，已知??2.5??0.9938，则X落在区间
?1
??1???________. ?????9.95,10.05?内的概率为___________.
【答案】：0.9876
【例9】设X?N?,?2，则概率P?X?????（ ）
???A?随?的增加而增大 ?B?随?的增加而增加 ?C?与?无关，与?有关 ?D?与?,?都无关
【答案】：?D?
【例10】设随机变量X服从正态分布N?,?2?????0?，若P?X?4??1，则 2??_________.
【答案】：4
【例11】设随机变量X?N(2,?)，若P{0?X?2}?0.3，求P{X?4}. 【答案】：0.2 【
例
12
】
设
随
机
变
量
2X?N??1,?12?,Y?N??2,?2?2，且
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P?X??1?1??P?Y??2?1?，则必有（ ）.
?A??1??2?B??1??2?C??1??2?D??1??2
【答案】：?A?
【小结】正态分布在所有分布中起着核心的作用，处理与正态分布相关的题目，主要有两种思路. 一、标准化：若X?N?,?2，则
??X????N?0,1?；二、对称性：若
X?N??,?2?，则其概率密度关于x??对称.
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