所以直线PB与平面PCD所成角的大小为arcsin
3. 618．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 解 (1)根据题意，可算得弧BC?x??(m)，弧AD?10?(m). 又BA?CD?弧BC?弧CD?30，
于是，10?x?10?x?x???10??30，
2x?10(0?x?10).
x?101122(2) 依据题意，可知y?S扇OAD?S扇OBC???10??x
22 所以，?? 化简，得y??x2?5x?50
52225. 452252于是，当x?(满足条件0?x?10)时，ymax?(m).
245225答 所以当x?米时铭牌的面积最大，且最大面积为平方米.
242 ??(x?)?19． （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 解 (1)结合题意，可得d1?(x?2)2?y2,d2?|x?3|.
(x?2)2?y26d16 又，于是，，化简得 ??d23|x?3|3x2y2??1. 62x2y2??1. 因此，所求动点M(x,y)的轨迹C的方程是62?x2y2?1,?? (2) 联立方程组?6 2?y?k(x?2),? 得(1?3k)x?12kx?12k?6?0.
2222?12k2?x1?x2?1?3k2,?212k?6 ?设点P(x1,y1)、Q(x2,y2)，则?x1x2?,21?3k????0.??第 6 页
于是，弦|PQ|?(x1?x2)2?(y1?y2)2?1?k2?12k2?12k2?6， ?4??2?21?3k?1?3k?2 点O到直线l的距离d?|2k|1?k2.
2 由S?OPQ41|2k|?3，得21?k221?k2?12k?12k2?6?3，化简得 ?4??2?21?3k?1?3k?2 k?2k?1?0，解得k??1，且满足??0，即k??1都符合题意. 因此，所求直线的方程为x?y?2?0或x?y?2?0.
20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分． 解 (1)
??2x, ?1?x?0,?f(x)=?2?x?1, 0?x?1.
?当?1?x?0时，f(x)??2x,且0?f(x)?2.
由y??2x，得x??11y，互换x与y，可得f?1(x)??x(0?x?2). 22当0?x?1时，f(x)?x2?1,且-1?f(x)?0.
由y?x2?1，得x?1+y，互换x与y，可得f?1(x)?1+x(?1?x?0).
?1??x, 0 ?1?x, ?1?x?0.? (2) 答 函数图像上存在两点关于原点对称. 设点A(x0,y0)(0?x0?1)、B(?x0,?y0)是函数图像上关于原点对称的点， 2则f(x0)?f(?x0)?0，即x0?1?2x0?0， 解得x0?2?1(x0??2?1,舍去)，且满足0?x?1 . 因此，函数图像上存在点A(2?1,2?22)和B(1?2,22?2)关于原点对称. (3) 考察函数y?f(x)与函数y?21?x2的图像，可得 当?1?x??2时，有f(x)?21?x2，原方程可化为?4x?2ax?4?0，解得 2第 7 页 x??222，且由?1??，得0?a?22?2. ??a+2a+22当?2?x?1时，有f(x)?21?x2，原方程可化为41?x2?2ax?4?0，化简得 24a24a(当0?a?22?2时，???2?0). 2a+42a?4(a2?4)x2?4ax?0，解得x=0，或x??于是，x1?? 由 24a,x2??2,x3?0. a?2a?4，得 x3?x2?2(x2?x1)4a4a2?3?17=2(?+). ，解得a?22a+4a?4a?22 因为a??3?17?3?17不符合题意，舍去； ??1，故a?22?3+17?3+17. ?22?2，满足条件.因此，所求实数a?220?a? 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分． 解 (1)根据题意，有an?0,bn?0,且an?1?由bnan?bn22an?bn，n?N*. ?an(n?N*)，b1?2，得 an?an22an?an*?2,a1?b1?2，n?N. an?1? 所以an?2，n?N． 证明 (2) ?bn?1*?1?bnanbna?b(n?N*)，an?0,bn?0,且an?1?nn，n?N*， 22anan?bnbn?1?b?1??n??an?21? ∴an?1??b?1??n??an?222?，bn?1an?1?b?*?1??n?，n?N． ?an?2?b??b?* ∴?n?1???n??1，n?N． ?an?1??an?第 8 页 22??b1???bn??? ∴数列????是首项为??、公差为1的等差数列． a?a1????n???解(3) ?bn?1?2an?bnbn**a?0,b?0,且a?，n?N， ， (n?N)nnn?122anan?bn22an?bn 由a?b?an?bn?2,n?N*，得1?an?1?2. 22n2n ??an?是等比数列，且an?0，设公比为r(r?0)，则an?a1rn?1(n?N*). ∴当r?1，即liman???，与1?an?1?2矛盾．因此，r?1不成立. n?? 当0?r?1，即liman?0，与1?an?1?2矛盾．因此，0?r?1不成立. n?? ? r?1，即数列?an?是常数列，于是，an?a1(1?a1?2). ?bn?1?2bn(n?N*). a1?bn?0，?b1?0，数列?bn?也是等比数列，设公比为q(q?0)，有bn?1?b1qn. ?an?2?an?1?bn?1a2n?1?b2n?1，可化为 b12(a12?1)q2n?2a1b1qn?a12(a12?1)?0(1?a1?2)，n?N*. ? b12(a12?1)?0,2a1b1?0,a12(a12?1)?0,??4a14b12(2?a12)?0， ?关于x的一元二次方程b12(a12?1)x2?2a1b1x?a12(a12?1)?0有且仅有两个非负实数根. 2一方面，q(n?N)是方程b12(a1?1)x2?2a1b1x?a12(a12?1)?0的根；另一方面， n*若q?1(q?0)，则无穷多个互不相等的q,q2,q3,q4,?,qn,? 都是该二次方程的根.这与该二次方程有且仅有两个非负实数根矛盾！ ?q?1，即数列?bn?也是常数列，于是，bn?b1，n?N. * ? 由bn?1?2bn(n?N*)，得a1?2. an 把a1?2，代入an?1?an?bna?b2n2n，解得b1?2. 第 9 页 ??a1?2, ． ????b1?2. 第 10 页