第六章 反证法在立体几何中的应用
在立体几何中哪些命题适合应用反证法，我们进行了一些归纳，下面以实例来说明。
一、证明诸直线共面
例题：求证：过一点和一条直线垂直的所有直线都在同一平面内。 已知：一点P与一条直线l，且a、b、c.......n都垂直于l. 求证：a、b、c.......n在同一平面内。 证明：
?
?a?b?P ?l?a,b确定的平面?；
?l?a,l?b?l?a?l?a,n确定的平面?、； ?l?n 假设pn?面?,又? 这样过一点有两个平面与直线l 垂直，与有且只有一个矛盾， 那么pn??，故命题得证。
二、证明诸点共面
例题：已知空间四点A、B、C、D满足?ABC??BCD??CDA??DAB? 求证：A、B、C、D共面。
?2,
证明：抓住四个角都是直角这一特征，容易联想到勾股定理进行比较，从二推出矛盾。 假设A、B、D??， C??，C是C在?内的射影，连CD,
//
CD?ADC/C???C/D?AD?CD?C/D ⑴
/ 同理?CB?CB ⑵
C/D?AD,C/B?AB,且AB?ADA,B,C,D???BC/D?/?ABC/D是矩形，
?2 所以
?BC/?C/D2?BD22 ⑶
已知?BCD??22?BC2?CD2?BD2 ⑷
2/2/2 由⑴⑵有 CD?CB?CD?CB
由⑶⑷有 CD?CB?CD?CB ?矛盾， 则C一定在?内，即A、B、C、D共面。
三、证明两条直线异面
例题1：已知两个不同平面?、?相交于直线l，经过直线l上两点A和B分别在?内直线 作AC，?内作直线BD; 求证：AC、BD是异面直线。 证明：假设 AC、BD共面， 则 AC、BD所在平面
22/2/2过AC和B点，即?过BC和A点，即? 那么，?、?重合与已知矛盾；
所以 AC、BD是异面直线。
指出：证明异面直线只能用定义和判定，但是都比较复杂，故采用反证法。 例题2：设 A、B、C、D是空间四点，且AB、CD是异面直线， 求证：AC与BD,AD与BC分别是异面直线。 证明： 假设AC与BD共面，
则A、B、C、D共面与 AB、CD异面 矛盾
所以AC与BD是异面直线。同理AD与BC是异面直线。
四、证明直线与平面相交
例题：求证：如果一条直线和两个平面中的一个相交，那么它与另一个也相交。 已知：?//?，??a?A。 求证：??a??。 证明： 假设a与?不相交，则；
I、 a??,且?//??a//? ，矛盾； II、a//?时，
过a与平面?上一点作面?， 由a???A，则?与?、?都不相交， 设相交直线为b、c则a//c?a//b， 又?//??b//c，但是a?b?A，矛盾 综上所述：a与平面?相交。
五、证明平面与平面相交
例题：直线a与b不平行，如果a??,b??，那么平面?与?必定相交，并且交线必垂直 于a、b。
证明：假设?????，即?//?。 a???a??；
b???a//b矛盾，故?与?相交。 设????c，
a???a?c同理?b?c 这样命题得证。
六、证明平行关系
例题1：求证：两个平面平行，则一平面中任意一条直线都与另一平面平行。 已知：?//?，a??； 求证：a//?。
证明：假设a//?不成立，则a与?必有公共点，
那么A???????A与a//?矛盾。故命题成立。 例题2：设直线a//?，a??，????b。求证：a//b。 证明：假设a不平行b，且有a??,b??，
则a?b?A,b???A???a???A，与已知矛盾，所以a//b。 例题3：设a//b，且b??；求证：a//?或a??。
证明：若a不平行?，且a???A，则a?b?A或a?b??； a?b?A与a//b矛盾；
a?b??即a与b无公共点且不共面?a与b是异面直线与a//b矛盾。 故命题成立。
例题4：已知?//?A??且A?a,a//?；求证：a??。 证明：假设a??，则a???A，
又?//??a????与a//?矛盾。故命题成立。
七、证明垂直关系
例题：求证：垂直于同一平面的两个相交平面的交线也垂直于这个平面。 已知：???，???且????AB; 求证：AB??.
证明：设????a，????b。
假设AB不垂直于?，则AB与a、b都不垂直或AB?a但AB不垂直b； ⑴AB与a、b都不垂直，
在?内过点A作AC?a，且????a，?AC??，同理AD??； 与过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直矛盾； ⑵AB?a但AB不垂直b，
设????a，则AB???AB?b矛盾； 综上所述AB??。
指出：由过程知道用同一法最为理想。
'' 1、过点A作AB??,过点AB作?//?且???，
' 则???，且知???，又?????，即?与?重合?AB??； 同理?AB??; 则????AB，那么AB与a重合，命题成立。
//’、、/// 2、假设AB不垂直于?，过点A作AB??,且???，A???AB??
' 同理?AB??; 所以AB与a重合，命题成立。 3、在平面?内任意取一点P，过P作PM?a,PN?b;
// 则
PM??,PN??PM?a,PN?b矛盾，所以AB??。
八、证明唯一性命题
例题1：求证：经过平面?外一点A只有一个平面和已知平面平行。 证明：假设过点A存在两个平面?和?都与?平行，且?????； 过点A作直线b??，?//??b??且?//??b????//?； 与 ?????矛盾，故命题成立。
例题2：设直线a过点A且直线a垂直于平面?；求证：a是唯一的。 证明：假设a不唯一，则存在过A作直线b且b??；
设a、b确定平面?且????c，则a?c,b?c与平面内过一点只能作一条直线和 已知直线垂直矛盾；故a是唯一的。
例题3：设点A??，A??且?//?，求证：?是唯一的。 证明：假设过点A还存在?//?，并设????a；
作b??则b??,b????//?矛盾，故?是唯一的。
九、证明否定式命题 例题1：求证：两个相交平面没有公垂线。 证明：假设存在公垂线a，
则a??,a????//?与?????矛盾，所以命题得证。 例题2：设四点A、B、C、D不共面，则它们中任何三点不共线。 证明：设A、B、C共线于b,D?b,
则由D和b确定平面?，与已知矛盾，故它们中任何三点不共线。
例题3：设点A是异面直线a与b外一点，则过点A与a、b都垂直的平面不存在。 证明：假设存在这样的平面?，则a??,b???a//b矛盾，故命题成立。