f(a,b)?(3b?a?2.5)2?(4b?a?3)2?(5b?a?4)2?(6b?a?4.5)2?4a2?2a(18b?14)?(3b?2.5)2?(4b?3)2?(5a?4)2?(6b?4.5)2学科网∴a?7?9b2?3.5?4.5b时， f(a,b)取得最小值(1.5b?1)2?(0.5b?0.5)2?(0.5b?0.5)2?(1.5b?1)2，学科网即0.5[(3b?2)2?(b?1)2]?5b2?7b?52，∴b?0.7,a?0.35时f?a,b?取得最小值．
学科网所以线性回归方程为y?0.7x?0.35．
学科网方法二：由系数公式可知，x?4.5,y?3.5,b??66.5?4?4.5?3.586?4?4.52?66.5?635?0.7 ?a?3.5?0.7?92?0.35，所以线性回归方程为y?0.7x?0.35．学科网（2）x?100时，y?0.7x?0.35?70.35，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低19.65吨标准煤．
学科例10．为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩x、物理成绩y进行分析．下面是该生7次考试的成绩．
学科网数学 881191010118 3 7 2 8 0 2 物理 991091010104 1 8 6 4 1 6 （1）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；
学科网（2）已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习
数学、物理上的合理建议．
学科网学科网解析：（1）
x?100??12?17?17?8?8?127?100；
y?100??6?9?8?4?4?1?67?100；
学科网?S2994250数学=7=142，?S222物理=7， 学科网从而S数学?S物理，所以物理成绩更稳定． 学科网（2）由于
x与y之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到
b??497994?0.5,a??100?0.5?100?50，?线性回归方程为y?0.5x?50．当y?115时，x?130．
题型6 古典概型与几何概型计算问题
例11 边长为2的正方形内有一内切圆．在图形上随机投掷一个点，则该点落到圆内的概率是
A．
?4 B．4? C．4??4 D．?
解析：根据几何概型的计算公式，这个概率值是
?4，答案A 题型七 离散型随机变量的分布、期望与方差（理科的重要考点）
例12．在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回．．．地先后抽得两张卡片的标号分别为x、y，记??x?2?y?x．（1）求随机变量?的最大值，并求事件“?取得最大值”的概率；（2）求随机变量?的分布列和数学期望．
解析：（1）?x、y可能的取值为1、2、3，?x?2?1，y?x?2，???3，且当x?1,y?3或x?3,y?1时，??3．因此，随机变量?的最大值为3．?有放回抽两张卡片的所有情况有
3?3?9种，?P(??3)?29． （2）?的所有取值为0,1,2,3． ???0时，只有x?2,y?2这一种情况， ??1时，有x?1,y?1或x?2,y?1或x?2,y?3或x?3,y?3四种情况，??2时，有x?1,y?2或x?3,y?2两种情况． ?P(??0)?19，P(??1)?429，P(??2)?9． 则随机变量?的
（3）分布列为：
学科网学科网
学科网? P 0 1 91 2 3 2 9
4 92 9因此，数学期望E??0?142214?1??2??3??． 99999例13．某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，按以往比赛经验，甲胜乙的概率为
2．（1）求比赛三局甲获胜的概率；（2）求甲获胜的概率；（3）设甲比赛的次数为3X，求X的数学期望．
分析：比赛三局甲即指甲连胜三局，可以按照相互独立事件同时发生的概率乘法公式计算，也可以将问题归结为三次独立重复试验，将问题归结为独立重复试验概型；甲最后获胜，可以分为甲三局获胜、四局获胜、五局获胜三个互斥事件的概率之和；甲比赛的次数也就是本次比赛的次数，注意当三局就结束时，可能是甲取胜也可能是乙取胜等．
33P?C()?n?3,4,5解析：记甲n局获胜的概率为P，，（1）比赛三局甲获胜的概率是：33n23（2）比赛四局甲获胜的概率是：P4?C3()()?238； 278；比赛五局甲获胜的概率是：27166422312P5?C4()()??P?P?；甲获胜的概率是：P． （3）记乙n局获胜的概率为Pn'，345338181n?3,4,5．
128313213221322P'3?C3()?'?C()()?，P4'?C3()()?；P； 54327332733813 4 5 2313故甲比赛次数的分布列为： X P(X) 所以甲比赛次数的数学期望是： P3?P3' P4?P4' P5?P5' E(X)?3?(
1882168107?)?4?(?)?5?(?)?． 27272727818127