h??y?y?(k1?k2)n?n?1?yn?1?yn?hk22?? ?k1?f(xn,yn) ?k1?f(xn,yn) ?k?f(x,y?hk)?hh2n?1n1??k2?f(xn?,yn?k1)?22?
㈡ 三阶龙格-库塔法的公式和局部截断误差： 常见的三阶龙格-库塔法公式为
h?y?y?(k1?4k2?k3)n?n?16??k1?f(xn,yn)? ?hh?k?f(x?,y?k1)nn?222???k3?f(xn?h,yn?hk1?2hk2)
㈢ 四阶龙格-库塔法公式
三阶龙格-库塔法公式的局部截断误差为Ο（h4）。
??yn?1?yn?hk2??k1?f(xn,yn)?hh?k2?f(xn?,yn?k1)22? 通常所说的龙格-库塔法是指四阶龙格-库塔法，也称为标准龙格-库塔法。由于它是一步法，（即已知yn，就可以求出yn?1，无需知道yn?1，yn?2，…的值）且它的计算精度高，所以应用较多，但在计算时，因为每一步都需要计算四次f（x，y）的值，计算量较大，所以，一般用来计算前几项的近似值，即“表头”。 四阶龙格-库塔法公式为的公式和局部截断误差：
h?y?y?(k1?2k2?2k3?k4)n?n?16??k1?f(xn,yn)?hh?k?f(x?,y?k1)?2nn22?hh?k?f(x?,y?k2)nn?322???k4?f(xn?h,yn?hk3)
四阶龙格-库塔法的局部截断误差为Ο（h5）。
四、单步法的收敛性和稳定性 1．收敛性
如果在无舍入误差且步长h充分小的情况下，求得的近似值yn足够精确地逼近真解
y(xn)，即：当h?0时，一致地有yn?y(xn)
①欧拉法整体截断误差：?n?y(xn)?yn其中y(xn)为真解，yn为在无舍入误差
情况下，从y0用欧拉法计算公式求得的近似解。
② 欧拉法的收敛条件：如果f(x,y)关于y满足Lipschitz条件，且局部截断误差Rn有 界，即Rn式为：
?n?h2?M2(n?1,2,...,N),则欧拉法收敛。且欧拉法的整体截断误差估计
2hM2L(b?a)(e?1) 2La?x?b其中L为Lipschitz常数，b-a为求解区间的长度，M2?maxy??(x)。 3.稳定性和绝对稳定性
①稳定性：指初始（或某步）产生的误差在后面的迭代计算中不会再扩大。即存在常数C及h0,0＜h≤h0时，对任意两个初始值y0,~y0满足不等式 ~yn?yn?C~y0?y0。 ② 欧拉法稳定性的条件：如果f(x,y)关于y满足Lipschitz条件，则欧拉法稳定。 ③ 绝对稳定性：若对固定步长h0及任意两个初始值y0,~y0满足不等式
~yn?yn?~y0?y0。
④ 我们在讨论稳定性时应注意，一般在实际计算中只能取固定步长，它不可能任意缩小。所以绝对稳定性则表示的是对固定步长h0，在初始（或某步）所产生的误差，在以后计算中不会逐步增长。由于绝对稳定性的成立和f(x,y)有关，讨论较为复杂。所以一般
y???y??地，我们对简单的微分方程?的绝对稳定性进行讨论。使得数值方法绝对??y(x0)?y0稳定的步长h和常数μ的取值范围称为绝对稳定域。（各种数值方法的绝对稳定域见课本）。
?y???20y例4 对于初值问题，?
y(0)?1?证明当h?0.1时，欧拉法绝对稳定。 证明 由欧拉公式得
y?(1?20h)yn?1 ~n
yn?(1?20h)~yn?1所以，en?1?20hen?1???1?10he0 当h?0.1时，有1?20h?1,en?e0 所以欧拉法绝对稳定。
本章学习以记忆公式和掌握证明题的推导方法为主。
n