知，则下列选项中是统计量的是 （ C ）
(n?1)S2X??X??1(A) (B) (C) （D）
?2?2?/nS/n?(Xi?1ni??)2
5、设X1,?,X16是来自N(?,32)的一个样本，已知样本均值为x?5，则
?的置信水平为95%的置信区间为 （ A ） (A) (3.53,6.47) (B) (3.77,6.23) (C) (3.53,6.23) (D) (3.77,6.47)
得分 评阅人 三、计算题：（共2小题，每小题10分，共20分）
1、已知离散型随机变量X的分布律为
P(X?1)?0.2,P(X?2)?0.3,P(X?3)?0.5，
求X的数学期望和方差。 解：X的数学期望为
E(X)?1?P(X?1)?2?P(X?2)?3?P(X?3)?1?0.2?2?0.3?3?0.5?2.3(3分)
E(X2)?12?P(X?1)?22?P(X?2)?32?P(X?3)?1?0.2?4?0.3?9?0.5?5.9X的方差为
(6分)
D(X)?E(X2)?(E(X))2?5.9?2.3?3.6(10分)
?Cx2，0?x?12、设连续型随机变量X的概率密度函数为（ fx）???0，其它1求：(1) 系数C; (2) 概率P(X?)。
2??1C31C21?f(x)dx?Cxdx?x|0?解：(1) ??0??33
解得 C?3 （5分）
11112322(2) P(X?)??3xdx?x|0? (10分)
028
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得分 评阅人
四、应用题：（共3小题，每小题10分，共30分）
1、甲袋中有3个白球, 5个黑球, 乙袋中有4个白球,2个黑球。从甲袋中任取一球放入乙袋, 再从乙袋中任取一球, 求这个球是白球的概率。
解：设A表示从乙袋取到是白球，B表示从甲袋取到是白球 ( 2分) 由全概率公式可得
P(A)?P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)35545?????87878(7分)(10分)
2、某校大二学生共有5000人，假设学生的数学成绩近似服从正态分 布N(70,102)，估计一下95分以上的学生数是多少？
解：设X表示学生的数学成绩，则X~N(70,102) （3分）
P(X?95)?1?P(X?95)?1?P(X?7095?70?)1010?1??(2.5)?1?0.994?0.006
(8分)所以该校95分以上的学生数为
5000?P(X?95)?5000?0.006?30(10分)
3、设草原上的鸟巢高度服从正态分布，测得16个鸟巢高度的样本均 值和方差分别为x?9.2,S2?1.62，试问鸟巢高度的平均高度是否与10 米有显著性差异(??0.05)？
解：设总体均值为?，样本容量n?16。 (1)统计假设为H0:??10?H1:??10 (2分) (2)检验统计量为T?X??~t(n?1) (5分) S/n(3)确定拒绝域：对于给定显著性水平??0.05，n?16,查表得
t?(n?1)?t0.025(15)?2.1315,
于是拒绝域为C?(??,?2.1315)?(2.1315,??)。 (7分) (4)统计决策：经计算T?9.2?10??2?C，所以H0，即认为鸟巢高
1.6/162
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度的平均高度与10米无显著性差异。 (10分)
得分 评阅人 五、综合题：（共2小题，每小题10分，共20分）
1、设随机变量X和Y联合密度函数为
?0.25e?0.5(x?y),x?0,y?0 f(x,y)??0,其他?(1) 证明：X和Y相互独立；(2) 计算P(X?1,Y?1)。 (1)证明：方法一：X的边缘密度函数为
???0.5(x?y)???dy,x?0?0.5e?0.5x,x?0??00.25e fX(x)??f(x,y)dy???????0,其它?0,其它??0.5e?0.5y,y?0同理Y的边缘密度函数为fY(x)??
0,其它?容易得f(x,y)?fX(x)fY(y)，所以X和Y相互独立 （5分） 方法二：利用直接判断的充要条件，事实上：（1）X和Y联合密度函数f(x,y)是变量可分离函数；（2）f(x,y)为正时的区域是矩形，所以X和Y相互独立 （5分）
(2) 方法一：
P(X?1,Y?1)?P(X?1)P(Y?1)?(?0.5e1???0.5xdx)?(e2?0.5x??21|)?e?1(10分)
方法二：
P(X?1,Y?1)????1???10.25e?0.5(x?y)dxdy(10分)??2?(?0.5e?0.5xdx)2?(e?0.5x|1)?e?11??
2、设X1,X2,?,Xn是来自总体X的样本，总体X的概率密度函数为
x?1???e,x?0，??0， p(x,?)????0,x?0?
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??X；(2) ??是?的一个无偏估计证明：(1) ?的最大似然然估计量为?量。
证明：(1) 设x1,x2,?,xn为样本X1,X2,?,Xn的观测值。基于样本的似然函数为L(?;x1,?,xn)?1?1ne??xii?1n （3分）
?对数似然函数为lnL(?;x1n1,?,xn)??nln????xi i?1dlnLn?n令1?1?nd?????1?2xi?0，解得??xi?x ini?1所以?的最大似然估计量为???X （2）因为X?Exp(1?)，所以
???X的数学期望为E???EX?EX?11/???
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（5分） 10分）
（