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金陵科技学院考试卷 20 10 2011 学年第一 学期 院(部) 级 专业 课程 概率论与数理统计 课程编号20100601 (B、闭)卷 2111?2?max{X1,X2},??3?X1?X2, 则这些估计量中是?的 X1?X2,?3322?1,??3，最有效的是??3。 无偏估计量的有??1?? 姓名 学号 得分 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 阅卷人 得分 一、填空题（每格2分,共30分） 得 分 1．若已知P?A??0.8,P?B??0.4,P(AB)?0.2，则P?A?B?? 1 ，P?A?B?? 0.6 ，P?AB?? 0.5 。 2．三个人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为1,1,1248，则能将此密码破译出的概率是 43/64 。 3．若随机变量?~U?1,7?，则E??D?? 7 。 4．设?~N(3,4),则P(2???5)? 0.5328 ；P(??0)? 0 ； E(2??1)? 7 ；D(??)= 4 。 (?(1)?0.8413,?(0.5)?0.6915，?(0)?0.5) 5．设随机变量?,?相互独立，且D(?)?4,D(?)?2，则D(3???)? 38 ， 6．设随机变量?的期望E??2，方差D??0.25，则由契比雪夫不等式有P(??2?3)? 1/36 。 7．设总体X~N(?,?2),其中?未知，?2已知，设X1,X2是来自总体X的 一个样本容量为2的样本，??1,??2,??3是?的三个估计量，其中 第 页 总 页 出卷教师 8．设X1X2?Xn是来自总体X~N(?,?2)简单随机样本，X为样本均值，则X~N(?,?2/n)，ES2??2。 二、选择题（每题3分,共15分） 得 分 1．设A,B为两事件，则AB?AB为 ( C ) （A）? （B）A （C）? （D）A?B ?12． f(x)= ??a?x?b ，是 分布的概率密度函数 ( C ) ?b?a?0其它（A） 指数 （B） 二项 （C） 均匀 （D） 泊松 3．随机变量的分布函数F?x?不一定满足 ( C ) （A）0?F?x??1 （B）在定义域内单调不减 （C）在定义域内连续 （D）xlim???F(x)?1 ??2x0?x?14．设r.v?的密度函数为f(x)??2?x2 1?x?2，则P(??1.5)? ( C ) ??0其它(A) ?12xdx??2(2?x2)dx (B) ?1.5??10(2?x2)dx (C) ?1.5f(x)dx (D) ?1.50??(2?x2)dx 5．设X21X2?Xn(n?2)是来自总体X~N(?,?2)简单随机样本，?未知时，检验?时，需要用统计量 （ C ） (A) U=X??X??X??2(n?1)S2? (B) U= (C) t= (D) ?? n?2 第 nS? ?页1 总 页 n 教研（实验）室主任
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三、简答题(共55分) 得 分 1．用甲乙丙三个机床加工同一种零件，零件由各个机床加工的概率的分别为0.6,0.1,0.3，各个机床加工的零件的合格品率分别为0.8,0.9,0.7，求 (1) 任取一件产品是次品的概率。 (2) 若任取一件是次品，则该次品由乙机床生产的概率。（本题10分） 解：设Bi?{任选一零件由第i个机床加工}i?1,2,3 A?{任选一零件是次品}????????????(2分) (1)3 P(A)??P(Bi)P(A|Bi)????????????????(2分) i?1 ?0.6?0.8?0.1?0.9?0.3?0.7?0.78????????(2分) (2) P(B(AB2)2|A)?PP(A)????????????(2分) ?0.1?0.90.78?0.1154????????????(2分) 2．已知随机变量?的密度函数为f??ax20?x?2?(x)??0 其它，试求： (1)常数a (2)求?的分布函数F??x? (3)P??1???2? (4) E?,D? (5) ???2的概率密度函数f?(y) （本题15分） 解：(1) ???283??f?(x)dx??0(ax2)dx?3a?1, a?8????(3分) ?0,x?0 (2) F(x)??x??f??(x)dx??x3/8,0?x?2????(3分) ??1,x?2 (3) P??1???2??F(2)?F(?1)?1???????(3分) (4) 23x2E???30x(8)dx?2??????(1分) E?2??23x22120x(8)dx?5??????(1分) 第 页 总 页 出卷教师 D??E?2?(E?)2?320??????(1分) (5) F?(y)?P(??y)?P(?2?y) 若y?0,则F?(y)?0；若y?4,则F?(y)?1；若0?y?4,则P(?2?y)?P(?y???y)?P(0???y)??y3x2 F?(y)?08dxf'113 ?(y)?F?(y)?3y8?2y?16y?3故f(y)???y0?y?4??16?0其它 ????????????????????(3分) 3．已知二维随机变量(?,?)的联合密度函数为： ?f(x,y)??1?8(6?x?y) 0?x?2，2?y?4 ??0其它求：(1) P(??1,??3)；(2)?与?的边际概率密度; (3) ?与?是否独立 （本题9分） 解： (1) P(??1,??3)??1dx?31028(6?x?y)dy?38?????(3分) (2) f411?(x)??28(6?x?y)dy?8(6?2x),0?x?2 f(y)??211?08(6?x?y)dx?8(10?2y),2?y?4 ????????????????????(3分) (3) f(x,y)?f?(x)f?(y) ，故?与?不独立 ????(3分) 第 页 总 页 教研（实验）室主任
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?(??1)x?0?x?14．设 X 的密度函数为f(x)?? 其中???1是未知参数， 其它?0 X1X2?Xn是来自总体X的样本，试求参数?的矩估计和极大似然估计。
附表:标准正态分布表?(x)???? x12?e?t22dt?P{X?x} （本题10分） 0.05 0.06 0.07 1.8 0.9678 0.9686 0.9693 x 解：(1)矩估计 EX????1??xf(x)dx??0x(??1)x?dx?1??2??……………………(2分) A1??1?X 解方程X?2?? …………(2分) 得?得矩估计为???2X?1X?1 ……………………(2分) (2)极大似然估计 似然函数为nnL(?)??f(xi)?(??1)ni?1?x?i i?1 对数似然函数为?nlnL()?nln(??1)?(?)?lnxi……..…………(2分) i?1 令dlnL(?)nd??n??1??lnxi?0…………………………….………(1分) i?1 得?的极大似然估计????n?1 …………………….………(1分) ?nlnxii?15．电工器材厂生产一种云母带，其厚度服从正态分布，且其平均厚度经常保持在为0.13mm,某日开工后检验9处,算得均值为0.146mm, 标准差为0.015mm. （1） 求该日云母带厚度均值的置信区间。(??0.05) （2）问该日云母带厚度均值与0.13mm有无显著差异。(??0.05) 附表:t分布表nP?t(n)?t?(n)?? ? 0.025 0.05 0.1 ?
7 2.3646 1.8946 1.4149
8 2.3060 1.8595 1.3968
9 2.2622 1.8331 1.3830
第 页 总 页 出卷教师
1.9 0.9744 0.9750 0.9756 2.0 0.9798 0.9803 0.9808 解：n?9,x?0.146,s2?0.015 （1）选取统计量T?X??S?t(n?1) …………………(2分) n则对于给定的??0.05,有P?T?t0.025(8)??0.95…………………(1分) 即P??X?s?nt???X?s?0.025(8)nt0.025(8)???0.95………………(1分) 故?的置信度为0.95的置信区间为（0.1345，0.1575）…………………(1分) （2）建立假设H0:??0.13 …………………(2分) 选取统计量T?X??S?t(n?1) …………………(1分) n对于给定的??0.05,由附表可得t0.025(8)?2.306 …………………(1分) 计算t?0.146?0.130.015?3.2 9比较t?t0.025(8)?2.306 …………………(1分) 下结论：拒绝H0,即可以认为云母厚度与0.13mm有显著差异。………(1分) 第 页 总 页 教研（实验）室主任