定义3.3.3 设X和Y是两个拓扑空间，f:X?Y．我们称映射f为一个商映射，如果它是一个满射并且Y的拓扑是对于映射f而言的商拓扑．
根据定理3.3.2 可见商映射是连续的．下面的这个定理告诉我们如何利用商映射来验证一类映射的连续性．
定理3.3.4 设X,Y和Z都是拓扑空间，且f:X?Y是一个商映射，则映射g:Y?Z连续当且仅当映射g?f:X?Z连续．
证明:由于商映射f连续，故当g连续时g?f连续．
另一方面，设g?f连续．若W是Z中的一个开集，则(g?f)(W)是X中的一个开集．然而(g?f)(W)?f便证明了g连续．
?1?1?1(g?1(W))，所以根据商拓扑的定义g?1(W)是Y中的一个开集．这
为了应用定理3.3.4 ，如何知道一个拓扑空间的拓扑是相对于从另一个拓扑空间到它的一个满射而言的商拓扑便成了一个有意思的问题．我们在这里只给出一个简单的必要条件．为此先陈述开映射和闭映射的定义．
定义3.3.5 设X和Y是两个拓扑空间，映射f:X?Y称为一个开映射（闭映射），如果对于X中的任何一个开集（闭集）U，像集f (U）是Y中的一个开集（闭集）.
定理3.3.6 设X和Y是两个拓扑空间，如果映射f:X?Y是一个连续的满射，并且是一个开映封（闭映射），则Y的拓扑便是相对于满射f而言的商拓扑．
证明：我们证明当f是开映射的情形．如果V是Y中的一个开集，由于映射f连续，所以
f?1(V)是X中的一个开集，因此V是Y中对于商拓扑而言的一个开集．另一方面，如果V
?1是Y中对于商拓扑而言的一个开集，则f?1(V)是X中的一个开集，由于f是一个开的满射，
所以f(f(V))?V是Y中的一个开集．综上所述，我们证明了Y的拓扑便是商拓扑．当f 是闭映射的情形时，证明是类似的．
定义3.3.7设（X，T ）是一个拓扑空间，R是X中的一个等价关系．商集X/R的（相对于自然的投射p:X?X/R而言的）商拓扑T R称为X/R的（相对于等价关系R而言的）商拓扑，拓扑空间（X/R，T 商空间．
R）称为拓扑空间（X，T ）的（相对于等价关系R而言的）
如果X是一个拓扑空间，R是X中的一个等价关系，若无另外的说明，我们总认为商集X/R的拓扑是商拓扑，也就是说将商集X/R认作拓扑空间时，指的就是商空间．因此投射p:X?X/R是一个商映射．
通过在一个拓扑空间中给定等价关系的办法来得到商空间是构造新的拓扑空间的一个重要手法．下面给出若干例子．
例3.3.8 在实数空间R中给定一个等价关系
R?{(x,y)?R2或者x,y?Q或者x,y?Q}所得到的商空间R/R实际上便是由两个点构
成的平庸空间．（请读者自行验证．）然而，明确地写出上面那个等价关系R有时是很麻烦的，我们经常采用一种较为通俗的简便说法，将这个商空间R/R说成是“在实数空间中将所有有理点和所有无理点分别粘合（或等同）为一点所得到的商空间”. 例3.3.9 在单位闭区间I?[0,1]中给定一个等价关系
R?{(x,y)?I或者x?y或者{x,y}?{0,1}}，我们便得到了一个商空间I/R．由于与例
3.3.1中同样的理由，习惯上也将这个商空间说成是“在单位闭区间I中粘合两个端点所得到的商空间”．事实上这个商空间与单位圆周S同胚．
类似地我们还可以构造出许多为读者熟悉或不熟悉的拓扑空间．例如在单位正方形
1I2?[0,1]2中将它的一对竖直的对边上的每一对具有相同的第二个坐标的点(0,x)和(1,x)
粘合，得到的商空间将同胚于一截“管子”，而将它的一对竖直的对边上的每一对点(0,x)和(1,1-x)粘合得到的商空间通常叫做Mobius带．数学中许多重要的对象如环面，Klein瓶，射影平面和射影空间等也都可以作为商空间而给出，我们在此不做进一步的介绍．
第四章 连通性
本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉及某些简单的应用．这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间．
4.1 连通空间
我们先通过直观的方式考察一个例子．在实数空间R中的两个区间(0,1)和[1,2)，尽管它们互不相交，但它们的并(0,1)?[1,2)?(0,2)却是一个“整体”；而另外两个区间(0,1)和(1,2), 它们的并(0,1)?(1,2)是明显的两“部分”．产生上述不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间(0,1)有一个凝聚点1在[1,2)中；而对于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中．我们通过以下的定义，用术语来区别这两种情形． 定义4.1.1 设A和B是拓扑空间X中的两个子集．如果(A?B)?(B?A)??,则称子集A和B是隔离的．
明显地，定义中的条件等价于A?B??和B?A??同时成立，也就是说，A与B无交并且其中的任何一个不包含另一个的凝聚点．
应用这一术语我们就可以说，在实数空间R中，子集(0,1)和(1,2)是隔离的，而子集(0,1)和[1,2)不是隔离的．
又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个无交的子集都是隔离的．
定义4.1.2 设X是一个拓扑空间．如果X中有两个非空的隔离子集A和B使得X?A?B，则称X是一个不连通空间；否则，则称X是一个连通空间．
显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间． 定理4.1.3 设X是一个拓扑空间．则下列条件等价： (l) X是一个不连通空间；
(2) X中存在着两个非空的闭子集A和B使得A?B??和A?B?X成立； (3) X中存在着两个非空的开子集A和B使得A?B??和A?B?X成立； (4) X中存在着一个既开又闭的非空真子集．
证明:（l）蕴涵（2)．设（l）成立．令A和B是X中的两个非空的隔离子集使得A?B?X，显然A?B??，并且这时我们有B?B?X?(B?A)?(B?B)?B.因此B是X中的一个闭子集；同理A也是X中的一个闭子集．这证明了集合A和B满足条件（2）中的要求． (2）蕴涵（3)．如果X的子集A和B满足条件（2）中的要求，则由于这时有A?B'和B?A'，易见A和B也满足条件（3）中的要求．
(3）蕴涵（4)．如果X的子集A和B满足条件（3）中的要求，则易见A和B都是X中的既开又闭的非空真子集，所以条件（4）成立．
(4）蕴涵（1)．设X中有一个既开又闭的非空真子集A．令B?A，则A和B都是X中的非空的闭子集，它们是无交的并且使得A?B?X．易见两个无交的闭子集必定是隔的．因此（l）成立.
例4.1.4 有理数集Q作为实数空间R的子空间是一个不连通空间．这是因为对于任何一个无理数r?R?Q，集合(??,r)?Q(?(??,r]?Q)是Q中的一个既开又闭的非空真子集． 定理4.1.5 实数空间R是一个连通空间．
证明:我们用反证法来证明这个定理．假设实数空间R是不连通空间．则根据定理4.1.3，在R中有两个非空闭集A和B使得A?B??和A?B?R成立．任意选取a?A和b?B，
''不失一般性可设a?b．令A?A?[a,b]和B?B?[a,b]．于是A和B是R中的两个非'''空闭集分别包含a和b，并且使得A?B??和A?B?[a,b]成立. 集合A有上界b，
'''''故有上确界，设为b．由于A是一个闭集，所以b?A，并且因此可见b?b，因为b?b'''''将导致b?A?B，而这与A?B??矛盾．因此(b,b]?B．由于B是一个闭集，所
''''''''''以b?B．这又导致b?A?B，也与A?B??矛盾．
'''''