① 若A??,则d(A)?? ② 若A?{x0},则d(A)?X?A ③ 若A={x1,x2},则d(A)?X ④ 若A?X, 则d(A)?X 答案：④ 12、离散空间的任一子集为( )
① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：③ 13、平庸空间的任一非空真子集为( )
① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：④ 14、实数空间R中的任一单点集是 ( )
① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭 答案：② 15、实数空间R的子集A ={1,
①φ ② R ③ A∪{0} ④ A 答案：③ 16、在实数空间R中，下列集合是闭集的是（ ）
① 整数集 ② ?a,b? ③ 有理数集 ④ 无理数集 答案：① 17、在实数空间R中，下列集合是开集的是（ ）
① 整数集Z ② 有理数集 ③ 无理数集 ④ 整数集Z的补集Z? 答案：④
18、已知X?{1,2,3}上的拓扑T?{X,?,{1}},则点1的邻域个数是（ ）
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：④ 19、已知X?{a,b},则X上的所有可能的拓扑有（ ）
① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个 答案：④ 20、已知X={a,b,c},则X上的含有４个元素的拓扑有（ ）个
① 3 ② 5 ③ 7 ④ 9 答案：④ 21、设(X,T)为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( ) ①X?T , ??T ② X?T ,??T ③当T??T时,
U?T?111, ,,……},则A＝（ ） 234U?T ④ 当T??T时,
U?T?U?T 答案：③
22、设X是一个拓扑空间，A,B?X,且满足d(A)?B?A,则B是（ ）
① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案：②
2.7 基与子基
在讨论度量空间的拓扑的时候，球形邻域是最基本的且非常重要的，一方面，每一个球形邻域都是开集，从而任意多个球形邻域的并也是开集；另一方面，假设U是度量空间X中的一个开集，则对于每一个x?U，有一个球形邻域B(x,?)?U，因此
U?x?U?B(x,?)．这就是说，一个集合是某度量空间中的一个开集当且仅当它是这个度量空
间中的若干个球形邻域的并．因此我们可以说，度量空间的拓扑是由它的所有的球形邻域通过集族求并这一运算“产生”出来的，留意了这个事实，下面在拓扑空间中提出“基”这个概念就不会感到突然了。
定义2.7.1 设（X，T ）是一个拓扑空间，B是T 的一个子族．如果T 中的每一个元素（即拓扑空间X中的每一个开集）是B中某些元素的并，即对于每一个U?T ，存在B1?B，使得U??{B:B? B1},则称B是拓扑T 的一个基，或称B是拓扑空间X的一个基．
按照本节开头所作的论证立即可得：
定理2.7.2 一个度量空间中的所有球形邻域构成的集族是这个度量空间拓扑的一个基． 特别地，由于实数空间及中所有开区间构成的族就是它的所有球形邻域构成的族，因此所有开区间构成的族是实数空间R的一个基．
至于离散空间，它有一个最简单的基，这个基由所有的单点子集构成。下面的定理为判定某一个开集族是否是给定的拓扑的一个基提供了一个易于验证的条件。
定理2.7.3 设B是拓扑空间（X，T ）的一个开集族（即B?T ），则B是拓扑空间（X，T ）的一个基当且仅当对每个x?X和x的每一个邻域Ux，存在Vx?B使得
x?Vx?Ux．
证明：设B是X的一个基，则对每一个x?X和x的每一个邻域Ux，存在x的一个开邻域Wx，使得x?Wx?Ux，由于Wx是一个开集，根据基的定义，存在B1?B,使得
Wx=?{A:A?B1}.于是由x?Wx知，存在A?B1，使得x?A?Wx?Ux。因此B满
足定理的条件.
另一方面，设定理中的条件成立，若U是X中的开集，则对每一个x?U，由于U是x的一个邻域，所以存在Vx?B，使得x?Vx?U，于是U?素之并，从而B是X的一个基.
在度量空间中，通过球形邻域确定了度量空间的拓扑，这个拓扑以全体球形邻域构成的集族作为基。是否一个集合的每一个子集族都可以确定一个拓扑以它为基？答案是否定的。以下定理告诉我们一个集合的什么样的子集族可以成为它的某一个拓扑的基。 定理2.7.4 设X是一个集合，B是集合X的一个子集族．如果B满足条件：
x?U?Vx，即U是B中某些元
(l)?{B:B?B}=X；
(2）如果Bi,Bj?B，那么对于任何x?Bi?Bj，存在B?B使得x?B?Bi?Bj. 则X的子集族
T ={U?2:存在BU?B使得?{A:A? BU}=U}
是集合X的唯一的一个以B为基的拓扑；反之，如果X的一个子集族B是X的某一个拓扑的基，则B一定满足条件（l）和（2) .
值得注意的是，如果集合X的子集族B满足条件：对于任何B1,B2?B，有B1?B2?B．这时B必然满足条件（2) ．这种情形经常遇到．
证明：设X的子集族B满足条件（1）和（2)，我们先验证定理中所给出的T 是X的一个拓扑：
（i）根据条件（l）我们知道X?T ．由于???{A:A??}，所以??T ．
X (ii）我们先验证：如果B1?B2?B，那么B1?B2?B1?B2?T．根据条件（2) ，对于每一个x?B1?B2，存在Wx?B使得x?Wx?B1?B2．于是B1?B2?x?B1?B2?Wx?T .
现在设A1,A2?T ，则存在B1，B2?B，使得
A1??{B1:B1? B1},A2??{B2:B2?B2}
于是
A1?A2?（?{B1:B1? B1}）?（?{B2:B2?B2}）
=?{B1?B2:B1? B1，B2?B2}
根据前面所证，上式中最后那个并集中的每一项B1?B2都是B中某些元素之并，所以
A1?A2也是B中某些元素之并，因此A1?A2?T .
(iii) 因为T 中每个元都是B中元的并，所以T 对并封闭． 以上证明T 是集合X的拓扑，根据定义可见B是T 的一个基.
假设F 是X的另一个拓扑并以B为基，根据基的定义，任何一个A?F ，必为B中某些元素的并，所以A?T ．这证明F ?T ．同理可证T ?F．这说明以B为基的拓扑是唯一的.
最后证明定理的后半段.设B是X的某一个拓扑T 的一个基。由X?T 可知X必为B中的某些元素的并，故必为集族B之并．因此（l）成立．设B1,B2?B且x?B1?B2．由于B?T ，所以B1?B2是x的一个开邻域，根据定理2.7.3，存在Wx?B，使得
x?Wx?B1?B2．这证明条件（2）成立．
我们现在来应用这个定理，用先给出基的办法来给定拓扑． 例2.7.5 实数下限拓扑空间． 考虑实数集合R ．令
[a,b):a,b?R,a?b? B=?容易验证B满足定理2.7.4 中的条件（l）和（2) ，因此B为实数集合R的某一个拓扑的基．实数集合的这个拓扑称为实数的下限拓扑，被记为T l，拓扑空间（R，T l）称为实数下限拓扑空间，为方便起见，记作Rv．明显地，它与通常实数空间有很大的区别．如果记实数空间的通常拓扑为T . 显然T ?T l.
在定义基的过程中我们只是用到了集族的并运算，如果再考虑集合的有限交运算（注意拓扑只是对有限交封闭的，所以只考虑有限交），便得到“子基”这个概念．
定义2.7.6 设（X，T ）是一个拓扑空间，F 是T 的一个子族．如果F 的所有非空有限子族之交构成的集族B＝{S1?S2???Sn:Si?F ,n?N} 是拓扑T 的一个基，则称集族F 是拓扑T 的一个子基，或称集族F 是拓扑空间X的一个子基． 例2.7.7 实数空间R 的一个子基．
实数集合R 的一个子集族F ＝?(??,b):b?R???(a,??):a?R?是实数空间R 的一个子基．
定理2.7.8 设X是一个集合，F 是X的一个子集族．如果X??{S:S?F }，那么X有唯一的一个拓扑T 以F 为子基．
映射的连续性可以通过基或子基来验证，一般说来，基或子基的基数不大于拓扑的基数，所以通过基或子基来验证映射的连续性有时可能会带来很大的方便． 定理2.7.9 设X和Y 是两个拓扑空间，f:X?Y．则以下条件等价：
(l) f连续；
(2）拓扑空间Y 有一个基，使得这个基中任何一个元的原象是X中的一个开集； (3) Y有一个子基，使得这个子基中的任何一个元的原象是X中的一个开集． 对于局部情形，也有类似于基和子基的概念．
定义2.7.10 设X是一个拓扑空间，x?X，ux为x的邻域系且vx?ux．如果对每个
U?ux，存在V?vx使得V?U，那么则称vx是点x的邻域系的一个基，或简称为点x
的一个邻域基．如果ux的子族wx满足条件：wx的每一个有限非空子族之交的全体构成的集族
?W1?W2??Wi:i?1,2,?,n,n?N?
是x的一个邻域基，则称wx是点x的邻域系的一个子基，或简称为点x的一个邻域子基． 例如在度量空间中以某一个点为中心的全体球形邻域是这个点的一个邻域基；以某一个点为中心且以有理数为半径的全体球形邻域也是这个点的一个邻域基．
在一维欧氏空间R中，集族wx=?(??,x??):??0???(x??,??):??0?就是x的一个邻域子基．
邻域基和邻域子基的概念可以用来验证映射在一点处的连续性．
定理2.7.11 设X和Y是两个拓扑空间，f:X?Y，x?X．则以下条件等价：
(l) f在点x处连续；