(2）f(x)有一个邻域基vf(x)，使得对于任何V?vf(x)，原象f?1(V)是x的一个邻域；
(3）f(x)有一个邻域子基wf(x)，使得对于任何W?wf(x)，原象f基与邻域基，子基与邻域子基有以下关联： 定理2.7.12 设X是一个拓扑空间，x?X，则
?1(W)是x的一个邻域．
(l）若B是X的一个基，则Bx＝{B?B：x?B}是点x的一个邻域基；
(2) 若F 是X的一个子基，则F
x＝{S?F ：x?S}是点x的一个邻域子基.
2.8 拓扑空间中的序列
在读者熟知的数学分析课程中，往往用序列收敛的概念作为出发点来刻画集合的凝聚点，函数在某一点处的连续性等等．在这一节我们便会看到这种做法在一般的拓扑空间中并不可行；而要使得它变为可行的，则要对拓扑空间加以适当的限制．我们将来再研究这种限制加到什么程度为合适．
定义2.8.1 设X是一个拓扑空间．每一个映射S:N?X叫做X中的一个序列．我们常将序列S记作?xi?i?N，或者?xi?i?1,2,3?，或者干脆记作?x1,x2??，其中xi?S(i),i?N.
拓扑空间X中的一个序列实际上就是在X中按先后次序取到的一串点，这些点可能重复．因此一个序列?xi?i?N可以仅由有限个点组成，即集合?xi:i?N?为一个有限集；当这个集合是单点集时，我们称序列?xi?i?N为一个常值序列.
定义2.8.2 设?xi?i?N是拓扑空间X中的一个序列，x?X．
(l）如果对于x的每一个邻域U，存在M?N使得当i?M时，有xi?U，那么就称点x是序列?xi?i?N的一个极限点（或极限），也称序列?xi?i?N收敛于x，记作
limxi?x或xi?x(i??)
如果序列至少有一个极限，则称这个序列是一个收敛序列．
(2）如果?U?ux和?M?N，都存在一个n?M使得xn?U, 那么就称点x是序列
?xi?i?N的一个聚点，也称序列?xi?i?N聚于x，记作xi∝x(i??).
显然一个序列的极限点一定是聚点，但反之不然．例如在一维欧氏空间中，序列 1 ，-1 , 1 ，-1 ，… 有聚点1 和-1 ，但是它没有极限点。
拓扑空间中序列的收敛性质与以前我们在数学分析中熟悉的有很大的差别，例如，容易验证平庸空间中任何一个序列都收敛，并且收敛于这个空间中的任何一个点，这时极限的唯一性不再成立．
定义2.8.3 设X是一个拓扑空间，S,S1:N?X是X中的两个序列．如果存在一个严格递增的映射N:N?N使得S1?S?N, 则称序列S1是序列S的一个子序列．
假如将此定义中的序列S记作?xi?i?N，那么序列S1自然可以记作xN(i)说，序列xN(i)??i?N，也就是
??i?N中第i个点恰是序列?xi?i?N中第N(i)个点．
我们已经看到，我们以前熟悉的序列的性质有许多对于拓扑空间中的序列是不适合的．但总有一些性质还保留着，其中最主要的可见于以下三个定理中． 定理2.8.4 设?xi?i?N是拓扑空间X中的一个序列．则
(l）若?xi?i?N是一个常值序列，即对于某一个x?X，有xi?x，则limxi?x.
(2）若序列?xi?i?N收敛于x?X，则序列?xi?i?N的每一个子序列也收敛于x． 定理2.8.5 设X是一个拓扑空间，A?X，x?X． (l）若A??x?中有序列聚于x，则x是A 的聚点．
( 2 ）若A??x?中有序列收敛于x，则x是A 的聚点．
证明：（l）设A??x?中有序列?xi?i?N聚于x，那么对x的任何邻域U，和?M?N，存在一个n?M使得xn?U，从而U?(A??x?)??. 这证明了x是A 的聚点．
（2）是（1）的特殊情况。
例2.8.6 定理2.8.5(2）的逆命题不成立．
设X是一个不可数集，考虑它的拓扑为可数补拓扑．这时X的一个子集是闭集当且仅当或者它是X本身或者它是一个可数集．我们先指出可数补空间X的两个特征：
(l）X中的序列?xi?i?N收敛于x的充分必要条件是存在M?N使得当i?M时，xi?x.
条件的充分性是显然的．以下证明必要性．设limxi?x,由于D??xi:xi?x,i?N?是一个可数集，因此D的补集D是x的一个邻域，从而存在M?N使得当i?M时，有
'
xi?D'，此时必有xi?x.
(2）若A是X的一个不可数子集，则A的导集Ad?X．这是因为X中任何一个点的任何一个邻域中都包含着某一个非空开集，而拓扑空间X中的每一个非空开集都是一个可数集的补集，所以任何一个点的任何一个邻域都是某一个可数集的补集．由于A是一个不可数集，它将与任何一个点的任何一个邻域有非空的交，因此X中任何一个点都是集合A的聚点，即
Ad?X．
现在我们来指出，在这个拓扑空间X中，定理2.7.2的逆命题不成立.设x0?X，令
dA?X??x0?，它是一个不可数集．根据（2) ，我们有x0?A，也就是说x0是A的聚点．然
而根据（l), 在A?X??x0?中不可能有序列收敛于x0.
这个例子表明，在一般的拓扑空间中不能像在数学分析中那样通过序列收敛的性质来刻画聚点．
定理2.8.7 设X和Y是两个拓扑空间，f:X?Y．则
(l）若f在点x0处连续，则X中的一个序列?xi?i?N 收敛于x0蕴涵着Y中的序列?f(xi)?i?N收敛于f(x0);
(2）若f连续，则X中的一个序列?xi?i?N收敛于x蕴涵着Y中的序列?f(xi)?i?N 收敛于f(x)
证明：（l）设f在点x处连续，?xi?i?N是X中收敛于x0的序列．如果U是f(x0)的一个邻域，那么f?1(U)是x0的邻域．这时存在M?N使得当i?M时，有xi?f?1(U)，从
而f(xi)?U.
(2）成立是因为连续意味着在每一点处连续. 例2.8.8 定理2.8.7的逆命题不成立．
设X是实数集，它的拓扑为可数补拓扑T c．考虑从拓扑空间（X，T c）到欧氏空间
（R，T e）的恒同映射i:X?R.
如果拓扑空间（X，T c）中的序列?xi?i?N收敛于x，那么存在M?N使得当i?M时，有xi?x，此时序列?xi?i?N在欧氏空间（R，T e）中也收敛于x．这就是说映射i满足定理2.8.7 (l）或（2）中的后一个条件．
但是这个映射i在（X，T c）的任何一个点x处都不连续．因为任何一个包含x的开区间（它是欧氏空间（R，T e）中x的一个开邻域）U，只要不是R本身，那么i(U)?U在拓扑空间X中不能包含任何一个开集，也就不能作为任何一个点的邻域．
上述例子表明，在一般的拓扑空间中不能像在数学分析中那样通过序列收敛的性质来刻画映射的连续性。
至于在什么样的条件下，定理2.8.5(2) 和定理2.8.7的逆命题成立，也就是说可以用序列收敛的性质来刻画聚点和映射的连续性，我们以后还要进一步研究．
此外，在度量空间中，序列的收敛可以通过度量来加以描述．
定理2.8.9 设(X,?)是一个度量空间，?xi?i?N是X中的序列，x?X，则以下条件等价：
?1(l）序列?xi?i?N收敛于x;
(2）对于任意给定的实数??0，存在N＞0，使得当i＞N 时，?(xi,x)??；
(3)lim?(xi,x)?0.
i??证明：（1）?（2) ．给定实数??0，球形邻域B(x,?)是x的一个邻域，故在（l）成立的条件下，存在N＞0， 使得当i＞N 时，xi?B(x,?)，即?(xi,x)??．
(2）?（1) ．对于x的任何一个邻域U，存在实数??0。使得B(x,?)?U．因此如果（2）成立，那么存在N＞0使得当i＞N 时，?(xi,x)??，即xi?B(x,?)，因此xi?U. 条件（2）和（3）的等价性是明显的.
第三章 子空间、积空间和商空间
在这一章中我们介绍通过已知的拓扑空间构造新的拓扑空间的三种惯用的办法．为了避
免过早涉及某些逻辑上的难点，在3.2中我们只讨论有限个拓扑空间的积空间，而将一般情形的研究留待以后去做．
3.1 子空间
讨论拓扑空间的子空间目的在于对拓扑空间中的一个给定的子集，按某种“自然的方式”赋予它一个拓扑使之成为一个拓扑空间，以便将它作为一个独立的对象进行考察．所谓“自然的方式”应当是什么样的方式？为回答这个问题，我们还是先从度量空间做起，以便得到必要的启发．
考虑一个度量空间和它的一个子集．欲将这个子集看作一个度量空间，必须要为它的每一对点规定距离．由于这个子集中的每一对点也是度量空间中的一对点，因而把它们作为子集中的点的距离规定为它们作为度量空间中的点的距离当然是十分自然的．我们把上述想法归纳成定义：
定义3.1.1设(X,?)是一个度量空间，Y是X 的一个子集．因此Y?Y?X?X．显然我们称Y的度量?Y?Y是由X的度量?诱导出来的．度?Y?Y:Y?Y?R是Y的一个度量．
量空间(Y,?)称为度量空间(X,?)的一个度量子空间．
我们常说度量空间Y是度量空间X的一个度量子空间，意思就是指Y是X的一个子集，并且Y的度量是由X的度量诱导出来的。我们还常将一个度量空间的任何一个子集自动的认作一个度量空间而不另行说明。例如我们经常讨论的实数空间R中的各种区间(a,b),[a,b]等，n维欧式空间中的n维单位球面
n?1??2nS??x?(x1,x2,?xn)?R?xi?1?
i?1??n