先来考察积度量所诱导出来的拓扑有什么样的性质，以便使我们得到在拓扑空间中应该如何引出积空间的概念的启示．
定理3.2.2 设(X1,?1),(X2,?2),?(Xn,?n)是n(?1)个度量空间，(X,?)是它们的积空间．又设T i和T 分别是由度量?i和?所诱导出来的Xi和X的拓扑，其中i=1,2,…n．则X的子集族
B={U1?U2???UnUi?T i,i=1,2,…n}
是X的拓扑T 的一个基．
证明:我们仅就n＝2 的情形加以证明．
首先根据积度量的定义容易得到（请自行验证）：对于任意x?(x1,x2)?X和任意??0，
B1(x1,?2)?B2(x2,?2)?B(x,?)?B1(x1,?)?B2(x2,?)
其中Bi(xi,?)(B(x,?))表示在度量空间Xi(X)中以xi(x)为中心，以?为半径的球形邻域.
设U1?U2?B，其中U1,U2分别为X1,X2中的开集.如果x?(x1,x2)?U1?U2，则存在
B1(x1,?1)?U1和B2(x2,?2)?U2，于是
B(x,?)?B1(x1,?)?B2(x2,?)?U1?U2
其中??min{?1,?2}.这就说明了U1?U2是x的一个邻域.由于x是U1?U2中任意一个点，所以U1?U2是X中的开集.因此B?T .
如果U是X中的任意一个开集，即U?T ，则对于每一点x?U，存在B(x,?x)?U．从而B1(x1,?x2)?B2(x2,?x2)?U,由此可见
U??{B1(x1,?x2)?B2(x2,?x2)x?(x1,x2)?U
这就是说，X中的每一个开集都是B中的某些元素的并．这就完成了B是T 的一个基的证明．
一般情形的证明是完全类似的，这里不再赘述．
在定理3.2.2的启示下，我们按以下方式引进有限个拓扑空间的积空间这一概念．
定理3.2.3 设(X1,T1),(X2,T2),?,(Xn,Tn)是n个拓扑空间.则X?X1?X2???Xn有惟一的一个拓扑T 以X的子集族B={U1?U2???UnUi?T i,i=1,2,…n}为它的一个基． 证明：我们有
（1） 由于X?X1?X2???Xn?B，所以?{BB?B}=X； （2） 若U1?U2???Un，V1?V2???Vn?B，其中Ui,Vi?T i，则
(U1?U2???Un)?(V1?V2???Vn)
=(U1?V1)?(U2?V2)???(Un?Vn)?B
由上一章中的定理2.7.4可见本定理的结论成立.
定义3.2.4设(X1,T1),(X2,T2),?,(Xn,Tn)是n个拓扑空间. 则X?X1?X2???Xn的以子集族B={U1?U2???UnUi?T i,i=1,2,…n}为基的那个拓扑T 称为拓扑T
1，T 2，..., T
n的积拓扑，（X，T ）称为(X1,T1),(X2,T2),?,(Xn,Tn)的（拓扑）积
空间.
设X1,X2,?,Xn是n个度量空间，则笛卡儿积X?X1?X2???Xn可以有两种方式得到它的拓扑：一是先将X作成度量积空间，然后再由积度量诱导出X的拓扑；另一是先用每一Xi的度量诱导出Xi的拓扑，然后再将X考虑作为诸拓扑空间Xi的拓扑积空间．定理3.2.2 实际上已经指出这两种拓扑是一致的，现将这一点明确陈述如下：
定理3.2.5 设(X1,T1),(X2,T2),?,(Xn,Tn)是n(?1)个度量空间X1,X2,?,Xn的度量积空间．则将X和诸Xi都考虑作为拓扑空间时，X是X1,X2,?,Xn的（拓扑）积空间． 特别地，作为拓扑空间，。维欧氏空间R便是n个实数空间R的（拓扑）积空间． 定理3.2.6设(X1,T1),(X2,T2),?,(Xn,Tn)是n(?1)个度量空间X1,X2,?,Xn的积空间．对于每一个i?1,2,?,n，拓扑空间Xi有一个基Bi．则X的子集族
B={B1?B2???BnBi?Bi,i?1,2,?,n}
是拓扑空间X的一个基．
证明：设T i为Xi的拓扑，i?1,2,?,n．令B如积拓扑的定义中的积拓扑的那个基．为证明B是积空间X的一个基，只需证明B中的每一个元素均可以表示为B中的某些元素的并．为证此，设U1?U2?L?Un?B，其中Ui?Bi．由于Bi是T i的一个基，故对于每一个i，存在Di?Bi使得Ui?U{Bi：Bi?Di}．于是
'''nU1?U2?L?Un
=（U{B1：B1?D1}）?（U{B2：B2?D2}）?…?（U{Bn：Bn?Dn}）
=U{B1?B2???BnBi? Di} =U{B1?B2?L?Bn: B1?B2?L?Bn?D}
其中D=U{B1?B2???BnBi?Di，i?1,2,...,n}? B'. 这就完成了我们所需的证明．
例3.2.7 由于实数空间R有一个基由所有的开区间构成，故应用定理3 2.6 立即可见，n维欧氏空间Rn中的所有开方体(a1,b1)?(a2,b2)?L?(an,bn)构成Rn的一个基．特别地，欧氏平面R有一个基由所有的开矩形(a1,b1)?(a2,b2)构成．
定理3.2.8 设X?X1?X2???Xn是n(?1)个拓扑空间X1,X2,?,Xn的积空间．令T为X的拓扑，T i为Xi的拓扑，i?1,2,...,n，则X以它的子集族
F ={pi(Ui)Ui?T i}
为它的一个子基．其中，对于每一个i，映射pi:X?Xi是笛卡儿积X到它的第i个坐标集Xi的投射．
证明:我们仅证明n＝2 的情形．
首先注意，对于任何A1?X1和A2?X2有pi(A1)?A1?X2和p2(A2)?X1?A2.根据积空间的定义，B={U1?U2Ui?T i}是它的一个基．令B为F 的每一个有限非空子族之交的全体构成的集族，即B={S1?S2?L?SnSi?F , i?1,2,?,n}
'由于显然有F ?B，所以B?T ．另一方面，根据U1?U2?(U1?X2)?(X1?U2)，
''2?1?1?1可见B?B．综上，我们有B?B?T ．明显地，B是X的一个基．因此，F 是X 的一个子基．
一般情形的证明是完全类似的，留给读者自己补证．
定理3.2.9设X?X1?X2???Xn是n(?1)个拓扑空间X1,X2,?,Xn的积空间．则对于每一个i?1,2,...,n，笛卡儿积X到它的第i个坐标集Xi的投射pi:X?Xi是一个满的连续开映射．
证明:显然pi是一个满射．对于Xi中每一个开集Ui，根据定理3.2.8 , pi(Ui)是X的某一个子基的元素，所以必定是X中的一个开集．这证明pi的连续性．
令B为积拓扑定义中X的那个基．由于一族集合的并的像等于先求这一族集合中每一个集合的像然后再求并（参见教材定理1.6.3 ) ，所以为了证明pi是一个开映射，只需验证B
?1'''中每一个元素的pi像是Xi中的开集即可．然而这是显然的，因为如果U1,U2,...,Un分别是
X1,X2,?,Xn中的开集，则pi(U1?U2?...?Un)?Ui是Xi中的一个开集.
例3.2.10 积空间到它的坐标空间的投射可以不是闭映射．
例如考虑欧氏平面R2到它的第一个坐标空间R的投射p1:R?R．容易验证集合
2B?{(x1,x2)?R2x1x2?1}是R2中的一个闭集，然而p1(B)?R?{0}却不是R中的闭
集．
定理3.2.11设X?X1?X2???Xn是n(?1)个拓扑空间X1,X2,?,Xn的积空间．又设Y也是一个拓扑空间，则映射f:Y?X连续当且仅当对于每一个i?1,2,...,n，复合映射
piof:Y?Xi连续，其中，pi:X?Xi是积空间X对于第i个坐标空间Xi的投射．
证明:根据定理3.2.9 ，每一个投射pi连续，所以当f连续时，每一个piof连续．另一方面，假设对于每一个i?1,2,...,n，复合映射piof:Y?Xi连续．X的子基（参见定理3.2.8) F ={pi(Ui)Ui?T i}中的每一个元素pi(Ui)的f原像
?1?1f?1(pi(Ui))?(piof)?1(Ui)是Y中的一个开集．根据定理2.7.9可见f连续．
定理3.2.11 是数学分析中一个相应的定理的推广，在数学分析中的那个定理经常被陈述为：一个多元函数是连续的当且仅当它的每一个分量函数连续．下面的定理3.2.12 则说明积拓扑的一个重要特性．
定理3.2.12设X?X1?X2???Xn是n(?1)个拓扑空间X1,X2,?,Xn的积空间．T 是X的积拓扑．又设T 是X的某一个拓扑满足条件：对于X的拓扑T 而言，从X到它的第
'i个坐标空间Xi的投射pi:X?Xi是连续映射，i?1,2,...,n，则T ?T ．
''?1换言之，积拓扑是使从积空间到每一个坐标空间的投射都连续的最小的拓扑．
证明:由于X的拓扑T 使得对于每一个投射都连续，所以对于任何一个i?1,2,...,n和Xi中的任何一个开集Ui我们pi(Ui)?T ．于是X的积拓扑T 的子基（参见定理3.2.8 ) F ={pi(Ui)Ui?T i}包含于T ，从而T ?T ．
定理3.2.13 设X1,X2,?,Xn是n(?2)个拓扑空间．则积空间X1?X2?L?Xn同胚于积空间(X1?X2?L?Xn?1)?Xn．
证明:暂时将X1?X2?L?Xn到第i个坐标空间Xi的投射记作pi；将X1?X2?L?Xn?1到第j个坐标空间Xj的投射记作qj; 将(X1?X2?L?Xn?1)?Xn到它的坐标空间
?1'''?1'X1?X2?L?Xn?1和Xn的两个投射分别记作r1和r2．根据定理3.2.9 ，所有这些投射都
是连续的．定义映射k:X1?X2?L?Xn?(X1?X2?L?Xn?1)?Xn使得对于任何
(x1,x2,...,xn)?X1?X2?L?Xn，k(x1,x2,...,xn)?((x1.x2,...,xn?1),xn)容易验证k是一
个一一映射．为证明映射k连续，根据定理3.2.11 ，只要证明映射r1ok和r2ok连续．映
射r1ok:X1?X2?L?Xn?X1?X2?L?Xn?1是连续的，这是因为对于每一个j=1,2，…，n-1，映射qjor1ok?pj连续；此外r2ok?pn也连续． 通过完全类似的证明也可见k?1连续．因此k是一个同胚．
在定理3.2.13 中，尽管X1,X2,?,Xn和(X1?X2?L?Xn?1)?Xn作为集合可以是完全不同的，但这个定理告诉我们，假如我们对同胚的空间不予区别，那么这两个拓扑空间却是一样的．这个定理还告诉我们，假如我们对同胚的空间不予区别，有限个拓扑空间的积空间可以通过归纳的方式予以定义．
3.3 商空间
将一条橡皮筋的两个端点“粘合”起来，我们便得到了一个橡皮圈；将一块正方形的橡皮块一对对边上的点按同样的方向两两“粘合”起来，我们便得到了一个橡皮管，再将这个橡皮管两端的两个圆圈上的点按同样的方向两两“粘合”起来，我们又得到了一个橡皮轮胎；这种从一个给定的图形构造出一个新图形的办法可以一般化．
我们在第一章中讨论过等价关系和商集的概念．所谓商集乃是在一个集合中给定了一个等价关系之后将相对于这个等价关系而言的等价类所构成的集合，通俗地说便是分别将每一个等价类中的所有的点“粘合”为一个点后得到的集合．在定义1.5.6 中我们也曾说起过在一个集合X中给定了一个等价关系R之后，从集合X到商集X / R有一个自然投射
p:X?X/R, 它是一个满射．注意到了这一点，下面引出商拓扑和商空间的概念的方式便显得顺理成章了．
定义3.3.1 设（X，T ）是一个拓扑空间，Y是一个集合，f:X?Y是一个满射．容易验证Y的子集族T 1={U?Yf射f而言的）商拓扑．
容易直接验证在上述定义的条件下，Y的一个拓扑T 是Y的商拓扑当且仅当在拓扑空
'间（Y，T ）中F?Y是一个闭集的充分必要条件是f?1?1(U)?T }是Y的一个拓扑．我们称T 1为Y的（相对于满
'(F)是X中的一个闭集．
定理3.3.2设（X，T ）是一个拓扑空间，Y是一个集合，f:X?Y是一个满射．则 (1)如果T 1是Y的商拓扑，则f:X?Y是一个连续映射； (2)如果T T
'1'1是Y的一个拓扑，使得对于这个拓扑T
'1而言映射f是连续的，则
?T 1.这也就是说商拓扑是使映射f连续的最大的拓扑．
证明:(1)根据定义自明． (2)设U?T
'1，由于满射f对于Y的拓扑T
'1'1而言连续，故f?1(U)?T ，因此
U? T 1，这证明T ?T 1．