?g(z)?i?????1?n?0n?1n1nn?z?2?在
z?2?1内收敛．
??又f(z)?'??z?n?1???z?n?0n?1n?11?z
?g(z)?'?n?1??1?n??z?2???n?0??1?n?1?z?2???n11??z?2??111?z
因此，在z?1内f'(z)?g'(z)，于是f(z)与g(z)可看作ln开式，故f(z)与g(z)可以互为解析开拓． ４．由于z?1为f(z)的奇点
2?p1?z在z?0和z?2处的展
设z?re令f(z)?q，p,q为正整数
q?1?n?1?zn?1??zn?qn!?f1(z)?f2(z)
由于f1(z)为多项式，故limf1?z?存在，而当n?q时．
r?1qn!?，从而z?r，于是f2(z)?n!n!?rn?qn!．
2?p因此，当r?1时，f2(z)??，故limf?z???，亦即z?1上的点er?1qi为f(z)的奇
2?p点，又由于点eqi在z?1上处处稠密所以f(z)沿半径不能越过单位圆做解析开拓，因而
f(z)以z?1为自然边界．
５．证明：由于u?z?在z平面上有界调和，，因而存在u的共轭调和函数v使得f?u?iv在
z平面上解析，从而G?z??ef(z)亦在z平面上有界．此即说明G?z?为有界整函数．根据
刘维尔定理知G?z?为常数．面上解析，?R?0，在z?R上，G?z??ef(z)?eu?eM（M为u?z?的上因而，f(z)为常数，故u?z?亦为常数．