空间直线、平面的平行与垂直问题
一、“线线平行”与“线面平行”的转化问题，“线面平行”与“面面平行”的转化问题 知识点：
一）位置关系：平行：没有公共点． 相交：至少有一个公共点，必有一条公共直线，
公共点都在公共直线上． 相交包括垂直相交和斜交． 二）平行的判定： （１）定义：没有公共点的两个平面平行．（常用于反证） （２）判定定理：若一个平面内的两条相交直线平行于另一平面，则这两个平面平行．（线面平行得面面平行） （３）垂直于同一条直线的两个平面平行． （４）平行于同一个平面的两个平面平行． （５）过已知平面外一点作这个平面的平行平面有且只有一个． 三）平行的性质： （１） 定义：两个平行平面没有公共点．（常用于反证） （２） 性质定理一：若一个平面与两个平行平面都相交，则两
交线平行．（面面平行得线线平行，用于判定两直线平行） （３） 性质定理二：两个平行平面中的一个平面内的所有直线
平行于另一个平面．（面面平行得线面平行，用于判定线面平行） - 1 -
（４） 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，必垂直于
另一个平面．（用来判定直线与平面垂直） 一般地，一条直线与两个平行平面所成的角相等，但反之不然． （５） 夹在两个平行平面间的平行线段相等．特别地，两个平
行平面间的距离处处相等． 二、 “线线垂直”到“线面垂直”“线面垂直” 到“线线垂直”及三垂线定理
1、斜线长定理——从平面外一点所引的垂线段和斜线段中 ①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长； ②相等的两条斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长； ③垂线段比任何一条斜线段都短 2、直线与平面所成的角 一条直线若是平面的斜线，那么它和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线与平面所成的角。特别地，若这条直线是平面的垂线，那么这条直线与平面所成的角是直角;如果这条直线平行于这个平面,那么直线与平面所成的角是0?。?0????90?? 结论：斜线与平面所成的角，是这条直线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。
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空间几 何体 构成几何体 的基本元素 柱、锥、台、球的结构特征 空间几何体 点、线 、平面 、 空间几何体 直线、平面间平行 与垂直的直观认识 柱、锥、台、球 的表面积和体积 平行投影与 中心投影 直观图和三视图的画法 平面的基本性质及其应用点线面之间的 位置关系 线线平行 平行公理等角定理 空间四边形有关概念 线面的空间位置关系 空间的平行关空间的垂直关系 线面平行 线面平行的定义、判定、性质 面面平行的定义判定、性质 面面平行 线线垂直 线面垂直 面面垂直 线面垂直的定义、判定定理、性质定理 面面垂直的定义、判定定理、性质定理 共线面向量定理 空间向量基本定理 平行与垂直的条件 向量夹角与距离 空间向量的加减运算 空间向量与立体几何 空间向量及其运算 空间向量的数乘运算 空间向量数量积运算 空间向量的坐标运算 直线的方向向量和平面的法向量 用空间向量证平行与垂直问题 求空间角、距离 立体几何中的向量方法 - 3 -
例 题
1、（将线面平行转变为线线平行）：如图，在底面为平行四边形的四棱锥P?ABCD中，AB?AC，PA?平面ABCD，且PA?AB，点E是PD的中点. （Ⅱ）求证：PB//平面AEC；
（６）
2、如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱EF//1BC． ?2（1）证明FO//平面CDE；（线面平行时用）
（2）设BC?3CD，证明EO?平面CDF．（线面垂直时用）
3、（将线面平行转变为面面平行）如图,长方体
ABCD-A1B1C1D1中，E、P分别是BC、A1D1的中点,M、N分别是AE、CD1的中点，
AD=AA1?a,AB=2a,
（Ⅰ）求证：MN//平面ADD1A1；
4、如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB//DC,
AC?BD,AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO?2,PO?2,PB?PD.（Ⅲ）设点M在棱PC上，且
平面BMD。
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PM??,问?为何值时，PC?MC5、（将面面垂直转变为线面垂直）如图，四棱锥P?ABCD的底面是正方形，
PD?底面ABCD，点E在棱PB上.
（Ⅰ）求证：平面AEC?平面PDB；
（）（可用空间向量做）
6、（线线垂直先证线面垂直）：如图：三棱锥v?ABC中，AH?侧面VBC且H是?VBC的重心，BE是VC边上的高 （1）求证：VC?AB
7、（利用空间向量解决线面平行垂直问题）如图，平面PAC?平面ABC，?ABC
是以AC为斜边的等腰直角三角形，E,F,O分别为PA，
PB，AC的中点，AC?16，PA?PC?10．
（I）设G是OC的中点，证明：FG//平面BOE；
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