第二章（一维）算符理论
本章提要：本章从线性变换和微分算子出发，建立算符理论统一它们来处理「观测行为」，引入观测公设。接着，从观测值=本征值为实数的要求出发，找到了符合条件的厄米矩阵来描述力学量，引入算符公设。之后介绍了运算法则、基本的位置和动量算符、复合算符的对易子、哈密顿算符等。最后，作为对上述内容的综合应用，讨论了不确定性原理。
1.算符：每一个可观测量，在态空间中被抽象成算符。在态空间中，观测行为被抽象为，某可测量对应的算符「作用」在态矢量上
①线性变换：线性代数告诉我们，一个线性变换「作用」到n维向量上会获得一个新的n维向量，这等价于一个n阶方阵「作用」在n行1列矩阵上得到新的n行1列矩阵，用数学语言可表示为??T????b?Ta。总之，方阵与线性变换一一对应。由于方阵性质比矩阵更丰富，我们将只研究方阵。
??dfd2f?f?2fi②微分算子：在微积分中,2,?,2也可简写成Df,D2f,?f,?2f。前两种在解
dxdx?x?xi欧拉方程和高阶方程式时常用，后两种则经常出现在矢量分析中。简写法可看作是微分算子「作用」在函数上，我们知道它遵守加法和数乘法则，是一种线性运算
③本征值和本征矢：在矩阵方程Ax??x中，把?称为矩阵本征值，x称为矩阵的本征矢 ④本征值和本征函数：在微分方程Dmixf??f中，把?称为问题本征值，f称为本征函数
⑤线性算符：现在把上述概念统一为线性算符理论。
?，?????，?????或Q考虑一个可测量Q，定义它的对应算符为Q它的本征方程是Q把?称为算符的「本征值」，?的取值集合称为算符的「谱」， （或本征矢），?称为算符的「本征函数」 ?称为算符的「本征态」
（注意：有时也把?记作本征值的对应本征态动量算符本征态p）
如后面将遇到的坐标算符本征态x、?，
?作⑥第三公设——观测公设：对于量子系统测量某个量Q，这过程可以抽象为对应的算符Q?的本征值?。在这次测量后，假设得到用于系统粒子的态矢量?，测量值只能为算符Qi?的本征态测量值?i，则意味着系统状态?此时已坍缩到对应于本征值?i的Q?i
（观测的影响：测量任何力学量都必须使用仪器。在观测的过程中，探测仪器不可避免地要与被测粒子发生相互作用：例如，要观测粒子的自旋，必须外加磁场）
2.厄米矩阵：根据实际要求观测量应为实数，即算子对应的矩阵的本征值为实数，我们找到这样的矩阵，在数学上称为厄米矩阵（自共轭矩阵）
①厄米矩阵定义：方阵A任一元素满足aij?aji，称方阵为厄米矩阵，记作A?A 由这个定义，今后就把转置共轭称作厄米共轭
②厄米矩阵性质：（1）本征值是实数（2）不同本征值对应的本征矢正交 （3）本征矢量构成一组完备基（经施密特规范正交化就得到标准正交完备基）
??*H?，算③第二公设——可观测量公设（算符公设）：每个可观测量Q都有其对应的厄米算符Q符的所有本征矢组成一个完备基
3.线性厄米算符的运算法则：
?f?B??B?f,A?（2）单位算符I?f?f,??1 ①基本运算：（1）A???B?） ??B?A?f???B??f（一般地A???B????A??B?（6）B??A?A??C???C（5）A?f?B??B?f?A?g?A??f?g?（4）A?f?A?f （3）A②算符作用在态矢（在坐标表象下）： （1）回顾投影式：
???eiei?，????ejej，c*j??ej，ci?ei?
i?1nnj?1（2）算符作用在右矢/左矢的矩阵表示（这要求本征值必须是离散的！）：
??????eM?[ee?]?e???M????M??? Mijjiijjiijjijj?????[?ee]N?e??e???*N??*??*N??* ?Njjiijjiijjiijj由此可得?jNji??i?Nji?j??i?Nji?Mij?M?N****H?N
此结论可简单表述为：同一算符作用在右矢与作用在左矢得到的结果构成厄米共轭
?e （3）算符的矩阵形式：由上可知Mij?eiMj（4）厄米算符判别条件：
???a??Qb???Q?a??b?Q?H???Q??? ?Q算符对函数作用时，条件改为：
?????Q??,?? ??,Q?是一个极其特殊的厄米算符，它的本征函数系平方不可积但是完备 4.位置算符：x?g?xg??g ①本征方程：x②本征值：本征值的集合就是实数集R，这种本征值取值连续的情况称为连续谱 相应地，本征值取值离散的情况称为离散谱
③本征函数：除了点x??之外g取值都是0，考虑归一化要求有g??B??x???
?g?,g???B????????，?g?,g???B??????
22④本征函数规格化：虽然无法归一化，但可考虑用?函数代替克罗内克符号?ij 于是有规格化处理g????x???，?gx,gx?????x?x??，简写作?x,x?????x?x??
?相同，它的本征函数系平方不可积但是完备 ??-i?D和x5.动量算符：p?到p?：推导过程留在本章结尾 ①从x?f?-i?Df??f②本征方程：p?dfdx??i???f
③本征值：本征值的集合是实数集R，本征值可直接记作p ④本征函数：f??Aeix?，
??f?,f???A2?????dx??，?f?,f???A2?????-??
21（*?函数的傅里叶变换公式：??k??2?p???eikxdx）
ix1⑤本征函数规格化：fp?e?，?fp,fp?????p?p??，简写作?p,p?????p?p??
2??
???,B???0（2）?A?,B????A?,B?,C?? ????B?，A??C????A①对易子的性质：（1）?A?,B???B?,C????A?,B?，?A?B???A??B????A?,C??B?C??A??C?,C?,C? （3）?A?B?，不妨定义运算A??B?A?,B?B?，称为对易子 ??A?-B?A6.对易子：一般地A?,B??B?,A??C?,A?,B?,C?,C??0 （4）雅可比恒等式：A?,p???i?，进一步地x?k,p?j?i??jk ②位置-动量对易关系（最基本）：?x??2pi???Q??V ③哈密顿量-力学量算符对易关系：，H??H,Q?2mdt??t?dQ??????????????????0，那么力学量Q是守恒量 ?,Q特别地，如果Q不显含时且H
???1???27.不确定性原理：?????A,B?，其中?Q?2i?2A2B??2??Q???Q2（方差定义）
?,B??0，称两算符可对易，此时存在?令????0 （1）解说：当AAB???,B?在该状态下的观测值可以同时确定 即A?,B??0，称两算符不可对易，若??0，则??? 当AAB?的观测值确定时，无论如何都无法确定B?的观测值（反之亦然） 即A???,B??0称两算符相容，此时它们有共同的本征态和本征函数 （2）算符相容性：A（3）位置-动量不确定性关系：?x?p?能量-时间不确定性关系：?H?t?????或写作?x?p? 22?Q?，其中?t?表示Q变化?Q所用时间 2dQ/dt??Q（4）本征值还是平均值？：当?A??B?0，易知Q??????Q? ?0即Q?的本征方程，?是本征态，Q是平均值又是本征值，这是怎么一回显然这是算符Q事？粒子状态对测量结果有什么影响？答案见第三章
8.附录1：不确定性原理的推导 方差??2Q???Q?Q?2?q222?qq，故?A?aa，?B?bb
根据柯西-施瓦茨不等式有aabb?ab2，对任意复数有z??Im?z??22?z?z*????2i?? ??2??AB??B?不妨设z?ab，考察ab??A*????代入归一条件??B?B??A? A1???*??B?，代入得?2?2???A?A同理有z?ab?ba?BA,B? ?AB2i??（此过程来源于《量子力学导论》3.4节，格里夫斯著）
??2?到p?的推导过程（波动力学观点） 附录2：从x?????2?2?已知一维薛定谔方程一般形式为i?????V? 2???t?2m?x???i??2?i??*i??2?*i*??V????V?整理为①，方程两边取共轭得② 22?t2m?x??t2m?x??2??**????????t?t?ti??*?2??2?*?i???*????*??? ???????????22????2m??x?x?x?x?①②?2m?x?代入?*????*?d?2i???*????*?i????x?dx?考察xx??????dx?2m?xd????x??x??? dt?t2m??x??x?x????i??*????*?-i?对后一项分部积分*??????????-???dx????????2?dx ????2m??x?x?2m?x分部积分??m则有：pd???????-i???*xdx???*?-i???dx dt?x?x???????-i?????*x?dx比较，可定义p将此式和x?，即为动量算符 ?x（此过程来源于《量子力学导论》1.5节，格里夫斯著）