?a?b?1?b2a??a?2?1??12?12?b2a????∴??????a?b??3???时等号??3?22，当且仅当?ab即?b?2?2?ab?ab??ab??a?0???b?0成立．∴OA?OB?12?的最小值为3?22．选A． ab ★ 错选C的可能是这样作的：
1222???22??12?①ab?2ab?4， ab??|OA|?|OB|????(a?b)?abab???a?b?2ab?或②ab?a?b111222???2?OA?OB????22?2?4． 22ababab★错因：都是两等号不能同时成立．（源于教材选修②P127例2、必修②P100A组第9题） 9．A 【解析】由函数为奇函数淘汰B、C，由y?x和y?sinx图象知，当x???，
x?sinx???，∴y?1?0?，选A
x?sinxPcosx?1/?0对x?0恒成立， 也可求导得y?2(x?sinx)∴y? 1在(0,??)递减，选A．（源于教材必修②P99B组第（1）题）
x?sinx10．B【解析】如图，连接PE,PF，易知?BPE??1,?CPF??2，由tan?1?tan?2，可得
tan?1?tan?2，故
BECFPEBE????定值，且此定值不为1，故P点的轨迹为圆。 PEPFPFCF（在平面上给定相异两点A、B，设P点在同一平面上且满足PA/PB= λ， 当λ>0且λ≠1时，P点的轨迹是个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆。这个结论称作阿波罗尼斯轨迹定理。（源于教材必
修②P124 B组第3题，P144B组第2题）
二．填空题：（本大题每小题5分，共25分）（参考2013年四川高考改卷场评分细则） 11．5【解析】因为z?i(2?i)?1?2i?|z|?5 ??y??x??22?22?12．?【解析】(x,y)满足?y?x， 最优解为?,??，Zmin??
?22?22????x?2?2?数学试题·第6页
12?1?x，所以y??x，y?x?x1?x1?1，可得B?1,?， 2?2?11?1??1?因为F?0,?，所以直线l的方程为y?，故AF?BF??????1.
22?2??2?13. 1 【解析】设B?x1,y1?，因为y?14．
1 【解析】如图，路灯距地平面的距离为DC，人的身高为EB．设人从C点运动到B处路5ABBE?． ACCD程为x米，时间为t（单位：秒），AB为人影长度，设为y， 则 ∵BE∥CD，∴
∴
7571y1.75，∴y=x， x=t，∴y=x=t． ?725255y?x811，∴人影长度的变化速率为m/s．（源于选修1-1P74思考？P108思考与回顾） 55∵y′=
15.①②③【解析】试题分析：由题设y?f(x)为奇函数，其图象关于原点中心对称，
又对定义域内的任意x都有f(1?x)??f(1?x)，所以其图象还关于点?1,0?，据此可判断函数
f?x?为周期函数，最小正周期T?2，又当x?(2,3)时，f(x)?log2(x?1)，因此可画出函数f?x?的图象大致如下图一所示，函数y?|f(x)|的图象如下图二所示，函数y?f(|x|)的图象如
下图三所示，
由图象可知①②正确，④不正确；
另外，当x???1,0?时，2?x??2,3?所以，f?2?x??log2?2?x?1??log2?1?x? 又因为f?x?是以2这周期的奇函数所以，f?2?x??f??x???f?x?所以，?f?x??log2?1?x? ∴f?x???log2?1?x?,x???1,0?，所以③也正确，故答案应填：①②③
数学试题·第7页
三．解答题：本大题共6小题，共75分） （参考2013年四川高考改卷场评分细则） 16.解：（Ⅰ）（1）已知分3期付款的频率为0.2，∴
a?0.2，即a?20 10040?20?a?10?b?100，∴b?10 ……………………………………………4分
（2）【法1】该品牌汽车4S店经销一辆汽车的平均利润为
1?40?1?(20?20)?1.5?(10?10)?2??1.4万元 ……………………8分 100 【法2】记分期付款的期数为x，则x的所有可能取值为1,2,3,4,5，由表可知：
P(x?1)?40?0.4,P(x?2)?0.2,P(x?3)?0.2,P(x?4)?0.1,P(x?5)?0.1 100∴该品牌汽车4S店经销一辆汽车的平均利润为
x?0.4?1?0.2?1.5?0.2?1.5?0.1?2?0.1?2?1.4万元 （Ⅱ）采用分层抽样的方法抽取6人. 那么采用分1期或2期付款的购车者中,分1期、2期付款的人数分别为4和2.记分1期付款的4人为A1,A2,A3,A4，分2期付款的2人为B1,B2. 基本事件为：A1A2,A1A3,A1A4,A1B1,A1B2,A2A3,A2A4,A2B1,A2B2,A3A4,A3B1,A3B2,A4B1, A4B2,B1B2共15种；
其中，所求事件包含的基本事件共9种
∴获奖者中至少一位是分2期付款的购车者的概率为P?93?．……………………12分 15517.解：（Ⅰ）f(x)?23sinxcosx?cos2x?sin2x?3sin2x?cos2x?2sin(2x? 由2k???6)
?2?2x??6?2k???2,k?Z得k???6?x?k???3,k?Z，
∴f(x)的单调递增区间为?k?????6,k????3??,k?Z………………………………………6分
（Ⅱ）由(2a?c)cosB?bcosC及正弦定理得(2sinA?sinC)cosB?sinBcosC， 即2sinAcosB?sinCcosB?sinBcosC，
即2sinAcosB?sinCcosB?sinBcosC?sinA 在△ABC中，sinA?0，∴cosB?1?，即B?
32??0?A??????5??2∵△ABC为锐角三角形，∴?，∴?A?，故?2A??，
2??62666?0?C??A??32?∴f(A)??2sin(2A??6)的值域为?1,2?．
数学试题·第8页
18．解：(Ⅰ)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q． 依题意，有2(a3＋2)＝a2＋a4，代入a2＋a3＋a4＝28， 可得a3＝8，∴a2＋a4＝20，
??a1q2＝8，?q＝2，?q＝2，??
?所以?解之得或?3
??aq＋aq＝20，a＝2?1?11?
1
?a1＝32.
又∵数列{an}单调递增，所以q＝2，a1＝2，
∴数列{an}的通项公式为an＝2n． …………………………………………………………6分 (Ⅱ) ∵b?2nlog12n??n?2n，
n2∴Sn＝－(1×2＋2×2＋…＋n·2)，
2n
2Sn＝－[1×22＋2×23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n+1]，
两式相减，得Sn＝2＋2＋2＋…＋2－n·2要使Sn＋n·2
n＋1
2
3
n
n+1
＝2n＋1－2－n·2n+1．…………………10分
＞50，即2n+1－2＞50，即2n+1>52．
n＋1
易知：当n≤4时，2故使Sn＋n·2
n+1
≤25＝32＜52；当n≥5时，2n+1≥26＝64＞52．
＞50成立的正整数n的最小值为5． ……………………………………12分
19.解：（Ⅰ）由图可知该四棱锥和底面ABCD是菱形，且有一角为60，边长为2，锥体高度为1.
设AC，BD和交点为O，连OE，OE为△DPB的中位线， ∵OE//PB，EO?面EAC，PB?面EAC内，
∴PB//面AEC………………………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）过O作OF?PA垂足为F，
在Rt△POA中，PO=1，AO=3，PA=2，PO2=PF·PA，2PF=1，PF?在菱形中BD?AC，又因为PO?面ABCD， 所以BD?PO，及BD?面APO，所以PA?平面BDF 当
13PF1
,FA?,?22FA333PF1?时，在△POA中过F作FH//PO，则FH?面BCD，FH?PO?.
44FA311133.……………………………12分 ?S?BCD??2?3,?V?S?BCD?FH???3?23344
数学试题·第9页
11?x?2x2(1?x)(1?2x)?(x?0) 20.解：（Ⅰ）当a?1时，f(x)?lnx?x?x，f(x)??2x?1?xxx2/令f/(x)?0得x?1，
∴当x?(0,1)时，f/(x)?0；当x?1时，f/(x)?0 ∴f(x)单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,??)；
f(x)的极大值为f(1)?0，无极小值.…………………………………………………4分
1?ax?2x22x2?ax?1??(x?0)，要使f(x)在?0,e?上不是单调函数， （Ⅱ）f(x)?xx/f/(x)亦即h(x)?2x2?ax?1在?0,e?内必有零点且在零点左右h(x)取值异号（变号零点）.
∵??a?8?0，∴方程2x?ax?1?0有两个不等的实数根x1,x2． 又x1?x2??221?0，两根一正一负， 222结合h(x)?2x?ax?1图象可得：h(1)h(e)?0，即2e?ae?1?0，即a?2e?1． e∴实数a的取值范围是???,2e??．……………………………………………………8分
2（Ⅲ）f(t)??2t?a，又切点(t,lnt?t?at)，
/??1?e?1t∴切线l的方程为y?(lnt?t?at)???2t?a??x?t?，t为常数
2?1?t??即y???2t?a?x?1?t?lnt．………………………………………………………10分
?1?t??2令g(x)?f(x)????2t?a?x?1?t2?lnt??lnx?x2??(?2t)x?1?t2?lnt?，
??1??t?????1?t??则g(t)?/1?1??2x???2t??x?t?/2(x?t)(x?x1)2t．
∵x?0,t?0，∴g(t)在(0,t)为正，在(t,??)为负；即g(x)在(0,t)递增，在(t,??)递减． ∴g(x)?g(t)?lnt?t??(?2t)t?1?t?lnt??0，
?t?故函数f(x)的图象上不存在位于直线l上方的点．……………………………………13分
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2?12?21．解：（1）由抛物线C1的焦点F(p,0)在圆O上， 2p2?1，即p?2， ∴4∴抛物线C1:y2?4x……………………………………………………………………………2分 ∵椭圆C2的上、下焦点(0,c)、(0,?c)及左、右顶点(?b,0)、(b,0)均在圆O上， ∴b?c?1,?a?2．
y2?1． ………………………………………………………………………4分 ∴椭圆C2:x?22（2）设直线AB的方程为y?k(x?1),A(x1,y1),B(x2,y2)，则N(0,?k)．
?y2?4x联立方程组?，消去y得：k2x2?(2k2?4)x?k2?0,
?y?k(x?1)?2k2?4?x?x2?∴??16k2?16?0,且?1k2 …………………………………………………6分
?xx?1?12uuruuuruuuruuur由NA??1AF,NB??2BF得：?1(1?x1)?x1,?2(1?x2)?x2,整理得：
xx?1?1,?2?2
1?x11?x22k2?4?22x1?x2?2x1x2k???1． ………………………………………9分 ∴?1??2?2k2?41?(x1?x2)?x1x21??1k2（3）设P(xp,yp),Q(xQ,yQ),?S(xp?xQ,yp?yQ)，则P'(xp,0),Q'(xQ,0)
uuuruuuruuuruuur由OP?OQ?OP'?OQ'?1?0得2xpxQ?ypyQ??1；①
又xp?2yp22yQ22?1②
xQ?2?1 ③……………………………………………………………………………12分
2由①+②+③得：(xp?xQ)?(yp?yQ)22?1
∴S(xp?xQ,yp?yQ)满足椭圆C2的方程，命题得证．…………………………………14分
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