因为k为整数，要使d最小，则只有k＝1，此时d＝（―?8，―2）即为所求.
【例1】
解析：①不正确性。两个向量长度相同，但它的方向不一定相同。
②正确。∵AB?DC且AB//DC，又A、B、C、D为不共线的四点， ∴ 四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形为平行四边形， 则AB//DC且AB?DC，因此AB?DC。
③正确。∵a?b，∴a、b的长度相等且方向相同，又b=c，
∴b、c的长度相等且方向相同，∴a、c的长度相等且方向相同，故a?c。 ④不正确。当a∥b且方向相同，即使a?b，也不能得到a?b。 ⑤不正确。考虑b?0这种极端情况。 答案：②③。
【例2】解：（1）依题意，得3a?b?2c=3（3，2）+（-1，2）-2（4，1）=（0，6） （2）∵a?mb?nc,m,n?R，∴（3，2）=m（-1,2）+n（4,1）=（-m+4n,2m+n）
?5∴???m?4n?3?m?,?2m?n?2, 解之得??9
???n?89;（3）∵(a?kc)∥(2b?a)，且a?kc=（3+4k，2+k），2b?a=（-5，2）
∴（3+4k）×2-（-5）×（2+k）=0，∴k??1613； （4）∵d?c=（x-4，y-1），a?b=（2，4）， 又∵(a?b)∥(d?c)且|d?c|?1，
?20?∴??4(x?4)?2(y?1)?0??x??55??x?20?5?(x?4)2?(y?1)2?1,解之得?或?5?25?5 ??5?25?y?5??y?5∴d?=（20?55，5?255）或d?=（20?55?255，5）
【例3】解：（1）设M(x31,3x31)(x1?0),N(x2,?3x2)(x2?0)，P(x,y)， 则MP?(x?x31,y?3x(x31)，PN?2?x,?3x2?y)， ?x?x1?x2?x所以????y?33x?33x，即??x1?x2?2x。 1?2?y?x1?x2?23y又因为
MN?43，所以
(x1?x2)2?[33(x1?x2)]2?48，代入得x2y236?4?1(?3?x?3,y?0)。 ：（2）P(x0,y0)，所以PF1?(?42?x0,?y0)，PF2?(42?x0,y0)
2因为PF1?PF2?0，所以?(42?x0)(42?x0)?y0?0，得x0?yo?32，
22xy6363又0?0?1，联立得x0??，因为?3，所以不存在这样的P点。 36422【点晴】本题是一道综合题，重在考查向量的概念及轨迹方程的求法。
【例4】解:（I）a+3b=（x,0）+3(1,y)=(x+3,3 y),
????22a–3b=（x, 0）?3(1,y)= (x?3,–3 y)
????????(a?3b)=0, 3b), ?(a+3b)·
?(x+3)( x?3)+3y·(?3y)=0,
x2?y2?1． 故P点的轨迹方程为3（II）考虑方程组??y?kx?m, 消去y，得（1–3k2）x2-6kmx-3m2-3=0 (*) 2?x2??y?1,?3.?(a+3b)?(a?显然1-3k2?0, ?=(6km)2-4(1-3k2)( -3m2-3)=12(m2+1-3k2)>0.
设x1,x2为方程*的两根，则x1+x2=6km，x0=x1?x2?3km, y0=kx0+m=
221?3k21?3km,
1?3k2故AB中点M的坐标为（3km，
1?3k2m）, 21?3k?线段AB的垂直平分线方程为y?m=（?1）3km,
(x?)k1?3k21?3k2将D（0，–1）坐标代入，化简得 4m=3k2?1,
?m2?1?3k2?0,22
?4m>0, 解得 m<0或m>4. 故m、k满足? 消去k得 m2?4m?3k?1,11又?4m=3k2?1>?1, ? m??, 故m?(?,0)?(4,+?)．
44【点睛】本题用向量语言来表达平面几何问题，是亮点。
【例4】文
?????????????解：（1）设C(x,y)，由OC?tOM?(1?t)ON知，点C的轨迹为y?x?4.
?y?x?42（2）由?2消y得：x?12x?16?0
?y?4x设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1x2?16，x1?x2?12,
????????所以y1y2?(x1?4)(x2?4)??16，所以x1x2?y1y2?0，于是OA?OB
（3）假设存在过点P的弦EF符合题意，则此弦的斜率不为零，设此弦所在直线的方程为x?ky?m,由??x?ky?m2消x得：y?4ky?4m?0，设E(x3,y3)，F(x4,y4)， 2?y?4x则y3?y4?4k，y3y4??4m.
????????因为过点P作抛物线的弦的长度是原点到弦的中点距离的2倍，所以OE?OF即x3x4?y3y4?0,
y32y42?y3y4?0得m?4，所以存在m?4. 所以
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