§3曲线的测设
§3.1 切线支距法（直角坐标法） §3.2偏角法 §3.3极坐标法
§4通用线形计算的数学模型
线路曲线的构成往往是千变万化的，但就线型而言不外乎是由直线段、圆曲线段、回旋曲线段组成，复合曲线可以看作是由参数不同的曲线元组成。如图：
x'Xdy'dx'??A?Ridld?Yy'设回旋曲线起点A的曲率为?A，其里程为KA，回旋曲线终点B的曲率为?B，其里程为KB。XAY为测量坐标系，x'Ay'为以A点切线为x'轴的局部坐标系。
由于回旋线上里程为Ki的各点曲率半径Ri与该点离回旋线原始起点的长度li成反比，即有：
1li=（c为常数） Ric?i=
根据上式，回旋线上里程为Ki点的曲率为
?i??A??B??AKB?KA(Ki?KA)
当曲线右偏时，?A、?B取正；当曲线左偏时，?A、?B取负。
1dl??idl Rid???i??i??A2(Ki?KA)?180??
回旋线上任一点的切线方位角?i??A??i??A2(Ki?KA)?180??
当?A?0，?B?0时，?i?0，则?i??A，上式变为计算直线段上任意点切线方位角的计算公式；当?A??B?11时，?i?，上式代表圆曲RR线上任意点切线方位角的计算公式。由此可见，只要知道了曲线起终点的曲率、里程及起点的切线方位角，利用上式可以计算任意线形（无论直线、圆曲线、回旋线）点位切线的坐标方位角。
在测量坐标系中有：
dX?dlcos?i dY?dlsin?i
l?Ki?KA?dl?dKi
设回旋线起点A点的坐标为（XA,YA），则可得回旋线上任意点在测量坐标系中的坐标：
X?XA??cos?idl
KAKiY?YA??sin?idl
KAKi上面推导?i、X、Y的计算公式就是线路逐桩坐标计算的通用数学模型，施工现场使用的很多可编程计算器都具有积分计算函数，例如卡西欧fx4500p、fx4800p、fx4850p、fx5800等。采用通用数学模型，可使线路坐标计算程序的编制变得简洁通用，无须按不同线形分别采用各自的数学模型计算，简化了编程步骤，节约了计算器内存，对小半径曲线应将积分分割数设为4或5。
§5竖曲线测设
线路纵断面是由许多不同坡度的坡段连接成的，坡度变化点称为变坡点，在变坡点处，相邻两坡度的代数差称为变坡点的坡度代数差。为缓和坡度在变坡点处的急剧变化，便于行车，通常在坡段间以曲线连接，这种连接不同坡段的曲线称为竖曲线。
《公路路线设计规范》规定，各级公路在纵坡变更处均应设置竖曲线。各级公路竖曲线的半径及其最小长度规定如下表：
公路 等级 地形 一般 凸形 最小 极限 最小 一般 凹形 最小 极限 平原微丘 17000 11000 6000 4000 100 汽车专用公路 高速公路 重丘 10000 6500 4500 3000 85 山岭 4500 3000 3000 2000 70 2000 1400 1500 1000 50 平原 微丘 10000 6500 4500 3000 85 一 山岭 重丘 2000 1400 1500 1000 50 平原 微丘 4500 3000 3000 2000 70 二 山岭 重丘 700 450 700 450 5035 平原 微丘 200 100 200 300 70 一般公路 三 山岭 重丘 700 450 700 450 35 平原 微丘 700 450 700 450 20 四 山岭 重丘 200 100 200 100 20 竖曲线半径 最小 竖曲线 最小长度 在铁路纵断面上，当变坡点的坡度代数差?i大于《铁路线路设计规范》规定的限值时，需设置竖曲线，国家Ⅰ、Ⅱ级铁路?i?0.3%、Ⅲ级铁路
?i?0.4%。竖曲线半径在Ⅰ、Ⅱ级铁路上不小于10000m，Ⅲ级铁路不小于5000m。在工作量不过份加大的情况下，为了改进交通条件，竖曲线的半
径应尽可能地加大。
竖曲线有凸形和凹形两种，顶点在曲线之上者为凸形竖曲线；反之称为凹形竖曲线。连接两相邻坡度线的竖曲线，可以用圆曲线，也可以用抛物线。目前，我国铁路和公路多采用圆曲线连接，在使用范围内二者几乎没有差别，下面按圆曲线推导竖曲线计算公式。按抛物线推导的公式表达式在形式上与按圆曲线近似计算公式是相同的。
如图：
?xyETi2i1RO由于在纵断面上只计水平距离和竖直高度，斜线不计角度而计坡度。因此，竖曲线长与切线长是其在水平面上的投影，切线支距是竖直的高程差，相邻两坡度线的交角用坡度代数差表示。
由于允许坡度的数值不大，可以认为纵断面上的曲折角???i?i1?i2。 竖曲线切线长：T?R?tg?2?1R?(i1?i2) 2竖曲线长度：L?R?(i1?i2)
由于?很小，故可以认为竖曲线上各点的y坐标方向与半径方向一致，也认为它就是切线上与曲线上的高程差。从而得
(R?y)2?R2?x2
2Ry?x2?y2
由于y2与x2相比较，其值甚微，可略去不计。故有
2Ry?x2
x2从而竖曲线上任一点的竖距y?
2RT2竖曲线外矢距：E?
2R算得竖距y后，根据坡度线上各点的高程，就可以计算出竖曲线上的曲线点高程。