移动平均数比率法适用于具有明显长期趋势变动因素存在的时间序列的季节变动分析。该方法通过计算移动平均数，如12个月的移动平均数或4个季度的移动平均数，以此消除季节变动和某些周期变动和不规则变动的影响，然后计算月（季）的实际指标值与相应的的移动平均数的百分比，即月（季）指数，从而反映统计指标由于受季节变动因素的影响而形成的季节变化规律性。其计算公式是： 月（季）指数＝月（季）实际指标值／月（季）移动平均数
上式中，月（季）指数又称“移动平均数比率”。显然，若在“旺月（季）”移动平均数比率将大于1；反之，若在“淡月（季）”，移动平均数比率将小于1。 值得指出的是，依上式计算的月（季）指数是反映各月（季）的季节影响程度。为了反映在整个时间序中季节变动因素总的、平均的影响程度，还应计算“调整月（季）指数”。
调整月（季）指数的计算步骤是：
1、将各年份的月（季）指数按月（季）排列；
2、将各同月（季）指数中的最大值和最小值删除掉；
3、计算平均月（季）指数，即未调整月（或季）指数，它是各同月（季）指数，扣除其中最大值和最小值的平均值，计算公式是： 平均月?季?指数?各同月?季?指数之和??最大值?最小值?
各同月?季?指数项数?2 4、计算调整系数。由于月（季）指数是各月（季）指标的实际值与相应的移动平均数之比，因此各月（季）指数的计算基数不同。为了以百分比反映季节变动的影响程度，必须对于平均月（季）指数进行调整。调整系数的计算公式是： 调整系数?12个月?或4个季?基数之和
12个月?或4个季?平均月?季?指数总和 其中：若是月份统计数据，12个月基数总和为1200；若是季度统计数据，4个季度基数总和为400。
5、计算调整月（季）指数，即，
调整月（季）指数＝平均月（季）指数×调整系数
调整月（季）指数的作用是：
（1）消除时间序列中的季节变动因素。如果将时间序列各月（季）的实际指标值除以调整月（季）指数，其结果只反映时间序列的长期趋势，某种规律的周期波动和不规则变动，一般不再含有季节变动因素。
（2）配合长期趋势的模拟模型，预测统计指标在季节变动影响下的数值。即对已经消除季节变动和周期波动，基本反映长期趋势的时间序列值进行长期趋势模拟，建立相应的拟合模型。
（3）将拟合模型值乘以相应的调整月（季）指数，即得到该月（或季）的预测值。 例如，表9-3是某城市在过去5年每季度的游客的数量，其线形型如图9-3所示。 表9-3 某市86-90年各季的游客数量 单位：万人 年份 季度 1986 1987 1988 1989 1 101 108 109 113 2 118 123 125 131 3 90 94 96 102 4 79 83 86 91 106
1990 119 131 140 97 根据表9-3资料，调整季节指数的计算步骤如下： 1、计算4个季度的移动平均数： 86年第2季度=388／4=97.00 86年第3季度=395／4=98.75 86年第4季度=400／4=100.00 87年第1季度=404／4=101.00 ……
90年第2季度=464／4=116.00
将上述计算结果列于表9-4的第5栏中。 2、计算各季度的移正平均数：
86年第3季度=（97+98.72）／2＝97.875 86年第4季度=（98.75+100）／2＝99.375 87年第1季度=（100+101）／2＝100.50 87年第2季度=（101+102）／2＝101.50 ……
90年第2季度=（114.5+116）／2＝115.25
将上述计算结果列于表9-4第6栏中，其图形如图9-3所示。由图9-3可见，通过移动平均和修正，消除了季节变动的影响，使移动平均数序列只呈现出长期趋势和微小程度的周期变动及不规则变动。
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3、计算各季度的季节指数：
86年第3季度=90／97.875=91.954％ 86年第4季度=79／99.375=79.497％ 87年第1季度=108／100.50=107.463％ 87年第2季度=123／101.50=121.182％ ……
90年第2季度=140／115.25=121.475％ 将上述计算结果列于表9-4的第7栏中。
4、 计算平均季节指数，结果如表9-5所示。
5、 计算调整系数：
调整系数=400／（105.593+120.905+91.999+81.150）=400／399.647=1.0009 6、 计算调整季节指数，结果如表9-6所示。
由表可见，经过调整五年4个季节的平均季节指数表明：该城市的游客的旺季始于第一季度，第二季度达到高峰；每年的第三、第四季度是淡季。
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三、周期性变动的分析方法
周期性变动是指统计指标在一年以上的期间内沿其长期趋势线上下波动的幅度及其出现的周期。由于以年份统计的指标值形成的时间序列不体现季节性变动因素，因此其只包括长期趋势变动，周期性变动和不规则变动等三种因素。周期性变动的分析实际上就是把长期趋势、周期性变动和不规则变动从时间序列中逐一分离出来，并度量周期波动的幅度及出现的周期。但应该注意周期波动分析只是反映和描述统计指标的时间序列过去的变动特征，一般不能用于预测经济现象未来的状况。 周期性波动的分析方法主要有趋势比率法和周期余数比率法。 （一）趋势比率法
趋势比率法是度量周期波动幅度的方法，它把时间序列中的实际指标值除以相应的趋势拟合值，反映周期波动的相对程度。趋势比率的计算公式是： 趋势比率=（实际指标值／拟合指标值）×l00％ （二）周期余数比率法
周期余数比率法是度量周期波动幅度的另一种方法。周期余数比率的计算公式是：
?Y?Y 周期余数比率＝×100%
Y 例如：1949年至1990年我国粮食产量如表9-7，图形如图9-4所示。根据表9-7的数据，采用最小二乘法，我国粮食产量（万吨）的长期趋势模型是：
t??=9757.97＋726.91t (t=1,2,3,…42) y .,R?0916.?1132., t??2082t2为了计算趋势比率和周期余数比率，首先计算拟合值结果列于表9-7。然后计算趋势比率和周期余数比率。
?和残差（yt?y?ytt），
第三节 时间序列分析的应用
现在，以一个包括四种变动因素的时间序列为例，依照上述综合分析程序进行分
析。例如，表9-3是某市五年来各季度游客的数量，其中包含长期趋势、季节变动、周期变动和不规则变动四种因素（参见图9-3）。依照上述综合分析程序，在确定游客数量这一时间序列
的变动因素和变动类型后，应计算调整季节指数，结果见上节表9-6。 根据调整季节指数，可计算游客数量的时间序列的调整值，即 时间序列调整值=实际指标值／调整季节指数
通过调整后的时间序列的指标值，即调整值，消除了季节变动因素的影响，因此可用于模拟长期趋势模型。调整值的结果如表9-8和图9-5所示。
根据表9-8中的调整值，拟合一直线趋势模型，结果是：
?=93.75＋1.15t (t=1,2,3,…20) y ., R?0953.t??130.78,t??1915t2根据表9-8中的调整值和拟合值，计算趋势比例，其结果如表9-8所示。
现在，可以应用上述资料预测1991年第一季度的游客数量。步骤是：
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（1） 计算1991年第一季度游客的长期趋势，即
?=93.75＋1.15×21=117.9(万人) yt（2）计算含有季节变动因素的预测值，即
~?×第一季度平均季节指数 y=ytt =117.9×1.05668=124.58(万人)
练习题
9-1 下表是连续14年的黄金年底价（单位：美元），计算三项移动平均的时间
序列，并画图，讨论图形的特点。 年份 价格 年份 价格 年份 11 12 13 14 4 价格 405 480 410 369 1 135 6 399 2 166 7 450 3 227 8 385 4 533 9 308 5 591 10 329 9-2 下表是某股份公司7年间的每股收益 年份 季度 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 0.362 0.370 0.621 0.384 0.389 0.389 0.639 0.431 0.411 0.448 0.712 0.584 0.620 0.620 0.891 0.570 0.540 0.690 0.870 0.680 0.780 0.440 0.800 0.780 0.690 0.400 1.030 0.940 (1) 画散点图，是否存在名显的季节影响？ (2) 求季节指数，并对原序列进行季节调整，对调整后的序列的散点图有何特点？ (3) 对调整后的数据，拟合一条趋势曲线。
9-3 以下是某地过去四年各季度的社会商品零售总额，应该用“同月（季）平均法”还是“移动平均数比率法”求季节指数？为什么？用你选择的方法计算月（季）指数。 年 季 1990 1991 1992 1993
1 87 85 84 88 2 105 108 104 103 3 86 83 87 88 4 122 124 125 121 110