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1．求矩形脉冲函数f(t)??解：
?j?t?j?tA1?e?? ??eF(?)?F?f(t)???f(t)e?j?tdt??Ae?j?tdt?A?????0j???j??0?A,0?t???的Fourier变换.
??0,其他???? 2.设F???是函数f?t?的Fourier变换，证明F???与f?t?有相同的奇偶性.
证明：F???与f?t?是一个Fourier变换对，即 F???????1??f?t?e?j?tdt，f?t??F???ej?td? ???2π??如果F???为奇函数，即F??????F???，则
f??t??1??1??j???t?j????tF?ed???F??ed? ??????2π???2π???1??（令???u）??F?u?ejutdu
2π??（换积分变量u为?）??所以f?t?亦为奇函数.
1??j?tF?ed???f?t? ???2π??如果f?t?为奇函数，即f??t???f?t?，则
F???????????j??t?j??tf?t?e??dt???f??t?e??dt ??????（令?t?u）??f?u?e?j?udu
??（换积分变量u为t）?????f?t?e?j?tdt??F??? ??所以F???亦为奇函数.
同理可证f?t?与F???同为偶函数.
4．求函数f?t??e?t?t?0?的Fourier正弦变换，并推证
???0?sin??π??d??e???0? 1??22解：由Fourier正弦变换公式，有
?t??ftsin?tdt?eFs(?)?Fs?ft?????0sin?tdt ???0????e?t??sin?t??cos?t????? ?1??21??20由Fourier正弦逆变换公式，有
f?t??Fs?1??Fs(?)???2??2???sin?tF(?)sin?td??d? s2??00ππ1??由此，当t???0时，可得
???0?sin??ππ??d??f????e???0? 21??225．设F??f?t????F(?)，试证明：
1）f?t?为实值函数的充要条件是F(??)?F(?)； 2）f?t?为虚值函数的充要条件是F(??)??F(?).
证明： 在一般情况下，记f?t??fr?t??jfi?t?其中fr?t?和fi?t?均为t的实值函数，且分别为f?t?的实部与虚部. 因此
F??????????f?t?e?j?tdt??fr?t??jfi?t??cos?t?jsin?t?dt ????????????f?t?cos?t?fi?t?sin?t????dt?j?????fr?t?sin?t?fi?t?cos?t??dt ???r?Re??F??????jIm??F?????
????fr?t?cos?t?fi?t?sin?t?其中Re?F?????????dt， ?a? ??Im??F???????????f?t?sin?t?fi?t?cos?t??dt ?b? ???r1）若f?t?为t的实值函数，即f?t??fr?t?,fi?t??0.此时，?a?式和?b?式分别为
Re??F?????????f?t?cos?tdt ??r????Im?F???????f?t?sin?tdt
??r所以
F?????Re??F???????jIm??F??????
?Re??F??????jIm??F??????F???
反之，若已知F?????F???，则有
Re??F???????jIm??F???????Re??F??????jIm??F?????
此即表明F???的实部是关于?的偶函数；F???的虚部是关于?的奇函数.因此，必定有
F?????????fr?t?cos?tdt?j?f?t?sin?tdt ????r亦即表明f?t??fr?t?为t的实值函数.从而结论1）获证.
2）若f?t?为t的虚值函数，即f?t??jfi?t?,fr?t??0.此时，?a?式和?b?式分别为
??Re??F?????????fi?t?sin?tdt Im??F?????????fi?t?cos?tdt ??所以
F?????Re??F???????jIm??F??????
??Re??F??????jIm??F?????
??Re??F??????jIm??F?????
????F???
反之，若已知F??????F???，则有
Re??F???????jIm??F????????Re??F??????jIm??F?????
此即表明F???的实部是关于?的奇函数；F???的虚部是关于?的偶函数.因此，必定有
F??????????fi?t?sin?tdt?j?f?t?cos?tdt， ????i亦即表明f?t??jfi?t?为t的虚值函数.从而结论2）获证.
6.已知某函数的Fourier变换F(?)?解：F(?)? f?t?? ?sin?sin??，求该函数f?t?.
?为连续的偶函数，由公式有
π??1??sin?j?tF?ed??cos?td? ????2??π0?1??sin?1?t??1??sin?1?t??d??d? ??2π0?2π0?但由于当a?0时
??sina???sina???sintπd??d(a?)?dt? ?0??0??0t2当a?0时
??sina???sin(?a)?πd???d??? ?0??0?2?1t?1?2，???sina??1d??0,所以得 f?t???，当a?0时，?t?1
0??4?0，t?1??7．已知某函数的Fourier变换为F????π??δ????0??δ????0???，求该函数f?t?.
解：由函数δ?t?t0?g?t?dt?g?t0?，易知
1??f?t??F???ej?td??2π??1??1??j?tj?t?πδ???ed??πδ???ed?????00??2π??2π??
11?ej?t?ej?t?cos?0t
????02???028．求符号函数（又称正负号函数）sgn?t???变换.
??1,t?0?1,t?0的Fourier
解：容易看出sgn?t??u?t??u??t?，而F[u(t)]?F(?)?1??a1?πδ(?). j????9．求函数f?t???δ?t?a??δ?t?a??δ?的t??δt??????222?????a?Fourier变换.
解 ：
1????a??a???j?t?F????F?ft?δt?a?δt?a?δt??δt???ed? ???????????2????2?2??????1??j?t?e?e?j?t?e?j?t?e?j?ta2?t??at?at??t??2???a? 2??