2k(8k2?8)?(4k?2)?8k2?4(2k?2)(1?2k2) ?
8k2?8?16k2?4?8k216k3?16k?32k3?82k2?(16k3?82k2?8k?42) ?
?4 ??8k?42?2k?2 ??9分
?4k1?k2?2为定值。 ??10分 k3 所以，k1?k2?2k1，即
（20）（I）(2,3)，(2,5)，(3,5)，(9,17) ……4分
（II）m以(a,b)为基底的坐标(x,y)有无数个。 ……1分 因为(a,b)为基底，对于?的整数m， ?x0,y0?Z，使m?x0a?y0b成立，即(x0,y0)为数
m以(a,b)为基底的坐标，则(x0?kb,y0?kb)，k?Z，都是数m以(a,b)为基底的坐标， 证
明如下：
(x0?kb)a?(y0?ka)b?x0a?y0b?kba?kba?m
所以(x0?kb,y0?ka)，k?Z，都是数m以(a,b)为基底的坐标，有无数个。 ……4分 （III）m?2k?1，k?N*，理由如下： ……1分 首先，对任意m?2k，k?N*，(2,m)不是全体整数的一个基底；反证法， 假设此时(2,m)是全体整数的一个基底，则?x,y?Z，有1?2x?my成立，
而数2,m都为偶数，所以2x?my为偶数，不可能等于1，所以假设不成立，即对任意
m?2k，k?N*，(2,m)不是全体整数的一个基底。 ……3分
下面证明，对所有满足题意的正奇数，对任意m?2k?1，k?N*，(2,2k?1)是全体整数的一个基底。
因为1??k?2?1?(2k?1)，即(?k,1)为数1以(2,2k?1)为基底的坐标，对于?m?Z，显然(?km,m)为数m以(2,2k?1)为基底的坐标，即??km,m?Z，使m??km?2?m?(2k?1)成立，即对任意m?2k?1，k?N*，(2,2k?1)是全体整数的一个基底。 ……5分
- 11 -