（2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设f?x?连续） ① 若f?a?f?b??0，则f?x?的零点不一定只有一个，可以有多个 ②若f?a?f?b??0，那么f?x?在?a,b?不一定有零点 ③ 若f?x?在?a,b?有零点，则f?a?f?b?不一定必须异号 3．断函数零点个数的常见方法
（1）直接法：解方程f?x??0，方程有几个解，函数f?x?就有几个零点；
（2）零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；
（3）图象法：画出函数f?x?的图象，函数f?x?的图象与x轴的交点个数即为函数f?x?的零点个数； 或将函数f?x?拆成两个常见函数g?x?和h?x?的差，从而f?x??0?g?x??h?x??0
?g?x??h?x?，则函数f?x?的零点个数即为函数y?g?x?与函数y?h?x?的图象的交点个数；
变式1. 函数零点的判断
例1：（1）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
A.y?cosx B.y?sinx C.y?lnx D.y?x?1【答案】A
2?x2?2,x?0（2）函数f?x???的零点个数是__________.
2x?6?lnx,x?0?【答案】2
2【解析】解法一：令x?2?0得，x??2，只有x??2符合题意；
令2x?6?lnx?0得，6?2x?lnx，在同一坐标系内，画出y?6?2x,y?lnx的图象， 观察知交点有1，所以零点个数是2.
解法二：当x≤0时,f(x)＝x－2,令x－2＝0,得x＝2(舍)或x＝－2, 即在区间(－∞,0]上,函数只有一个零点．当x>0时,f(x)＝2x－6＋lnx,
2
2
f′(x)＝2＋,由x＞0知f′(x)＞0,∴f(x)在(0,＋∞)上单调递增,
x而f(1)＝－4＜0,f(e)＝2e－5＞0,f(1)f(e)＜0,从而f(x)在(0,＋∞)上只有一个零点． 综上可知,函数f(x)的零点个数是2.故填2.
（3）函数f?x??2x2?e在?2,2有 个零点．
x1
??【答案】2．
【点评】(1)函数的零点可转换为方程的根,若方程能够直接解出,则零点也就得到；
(2)连续函数在区间[a,b]上有f(a)·f(b)＜0时,函数在(a,b)内至少有一个零点,但不能确定究竟有多少个．要更准确地判断函数在(a,b)内零点的个数,还得结合函数在该区间的单调性、极值等性质进行判断； (3)对于解析式较复杂的函数的零点,可根据解析式特征，利用函数与方程思想化为f(x)＝g(x)的形式,通过考察两个函数图象的交点来求。
变式2. 由函数的零点(或方程的根)求参数
例2：（1）若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)内存在一个零点,则a的取值范围是________．
?1?【答案】(－∞,－1)∪?，＋∞?. ?5?
（2）已知函数f?x??x?|x|?3?a有4个零点，则实数a的取值范围是 ；
2【答案】(?3,?11) 4222【解析】由函数f(x)?x?x?3?a有4个零点?x?x?3?a?0有4个根，即x?x?3??a 有4个根。令g(x)?x?x?3，h(x)??a如下图。
2
由图知h(x)??a在
1111到3之间，所以实数a的取值范围是(?3,?) 4432（3）函数f?x??ax?3x?1，若f?x?存在唯一的零点x0，且x0?0 ，则a的取值范围是 ；
【答案】???,?2?
?1?3【解析】ax?3x?1?0?a?????，
?x?x323令t?13，依题意可知a??t?3t只有一个零点t0且t0?0， x3即y?a与g?t???t?3t只有一个在横轴正半轴的交点．
g??t???3t2?3可知g?t?在???,?1?,?1,???减，在??1,1?增，
g??1???2 作出图象可得只有a??2时，y?a与g?t???t3?3t只有一个在横轴正半轴的交点．
【点评】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解． 变式3.复合函数的零点个数问题
例3：（1）已知函数y?f?x?和y?g?x?在??2,2?的图像如下，给出下列四个命题： ①方程f??g?x????0有且只有6个根 ②方程g??f?x????0有且只有3个根 ③方程
f??f?x????0有且只有5个根 ④方程g??g?x????0有且只有4个根
则正确命题的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B．
（2）若函数f(x)＝x＋ax＋bx＋c有极值点x1,x2,且f(x1)＝x1,则关于x的方程3(f(x))＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数是( )
A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A
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