g的重要性抽样蒙特卡洛估计值即为??g??h(Xmj?11mj)f(Xj)g(Xj)。
旧的概率密度与新的概率密度的比值
?f(X)g(X)
称为似然比
或Radon-Nikodym导数，并且，?是?的无偏估计量。
重要性抽样技术的方差减少效果：由于
E[(h(X)gf(X)g(X))]?E[h(X)22f(X)g(X)]，所以选择合适的重要性抽样
密度g可以获得方差减少，g的选择是重要性抽样技术成功与否的关键。
当重要性抽样技术应用于期权定价时，X可被视为标的资产价格，也可以被视为正态随机变量(向量)。比如，定价对象是深度虚值的欧式看涨期权，直接采用标准蒙特卡罗方法得到的到期回报单次模拟值大多为0，从而为得到一个估计值需要次数庞大的模拟。应用重要性抽样技术可以使单次模拟所得回报大于0的概率增大，从而减小了模拟次数，提高了估计效率。
考虑标的资产服从风险中性几何布朗运动的下敲入看涨障碍期权，假设障碍在离散时间点n?t,n?1,2,?,d监测，
?t?Td，障碍H?S0e?b，敲定价格H?S0ec，b,c?0。那么由下式
可得到期权价格的标准蒙特卡洛估计：
e?rTE[I(S)(Sd?K)]
?其中，示性函数I(S)的定义为
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??1，若存在j?{1,?,d},使得Sj?HI(S)?? 0，若所有j?{1,?,d},均有S?H?j?已知
(r?nSn?S0exp(?Xi)i?1，Xi是独立同分布且均值为
?22)?t，方差为?2?t的正态随机变量。若b,c的值很大，
那么由标准蒙特卡洛方法模拟得到的I(S)?0情形居多。应采用重要性抽样技术，使Xi从均值为(r?仍为?2?22)?t?p，方差
?t的正态分布中抽样，那么
?gE[I(S)(Sd?K)]?E[f(X)g(X)I(S)(Sd?K)]
?令似然比Lg?f(X)g(X)，在新的概率测度g下得到标的资产
价格的重要性抽样路径模拟，若在某次模拟中障碍被跨越，那么由此次模拟得到的回报就是L要性抽样蒙特卡洛估计量。
研究证明，一个有效的p值为
p?(r?g(Sd?K)?，反之，模拟回报
值为0。多次模拟得到的回报平均值贴现即为期权价格的重
?22)?t?2ln(S0H)?ln(KS0)d
◆条件蒙特卡洛技术
条件蒙特卡罗技术的理论依据是概率论中的著名等式
E[X]?E[E[XY]]，由此式知条件期望E[XY]是E[X]的无偏
估计。由条件方差公式Var[X]?E[Var[XY]]?Var[E[XY]]，可知Var[X]?Var[E[XY]]，故由条件期望估计量可以带来方
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差减少效应。值得注意的是，使用这种技术模拟的是变量Y而非X。
仍以上一节的下敲入障碍期权为例，期权价格的标准蒙特卡洛估计由e?rTE[I(S)(Sd?K)]得到。如果在第?个时刻
?障碍首次被跨越，那么由障碍期权的定义，自此时起期权可被视为标准欧式看涨期权，应用B-S公式，有
e?rT??r??tE[I(S)(Sd?K)S?]?eI(S)BS(S?,K,T?r??t)
其中，BS(S?,K,T?r??t)是由B-S公式给出的初始价格为
S?，敲定价格为K，到日为T?rT??r??t?rT的标准欧式看涨期权价
?格。由于eE[I(S)(Sd?K)]?eE[E[I(S)(Sd?K)S?]]，
故对于给定的标的资产价格的一条模拟路径，期权到期回贴现的条件蒙特卡洛模拟值为e?r??tI(S)BS(S?,K,T?r??t)。
在此例中，应用条件蒙特卡洛技术模拟的量是S?，而非期权的到期回报。与标准蒙特卡洛方法相比，我们只需模拟到S?停止即可，而不必模拟出标的资产价格的全部路径
S1,S2,?,Sd，故减少了模拟工作量，提高了效率。
如果对此期权综合应用条件蒙特卡洛与重要性抽样两种方差减少技术，则有
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E[I(S)(Sd?K)S?]?E[???f(X1,?,X?)g(X1,?,X?)f(X1,?,X?)g(X1,?,X?)f(X1,?,X?)g(X1,?,X?)E[g?gf(X)g(X)I(S)(Sd?K)?S?]?f(X??1,?,Xd)g(X??1,?,Xd)?I(S)(Sd?K)S?]E[I(S)(Sd?K)S?]er(T???t)
I(S)BS(S?,K,T?r??t)那么结合了重要性抽样的标的资产服从风险中性几何布朗运动的下敲入看涨期权的到期回报贴现的条件蒙特卡洛模拟值即为
f(X1,?,X?)g(X1,?,X?)e?r??t)I(S)BS(S?,K,T?r??t)
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