22. （本小题满分14分）
x2y2已知椭圆2?2?1（a?b?0）的两个焦点分别为F1(?c,0),F2(c,0)(c?0)，过点
aba2E(,0)的直线与椭圆相交于点A,B两点，且F1A//F2B,|F1A|?2|F2B|
c（Ⅰ求椭圆的离心率 （Ⅱ）直线AB的斜率；
（Ⅲ）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点H(m,n)(m?0)在?AF1C的外接圆上，求
n的值。 m【答案】（1）e?n22c32（2）k??（3）? ?m5a33【解析】 （1）解：由F1A//F2B,|F1A|?|F2B|，得
|EF2||F2B|1??,从而
|EF1||F1A|2a2?c1c322c?a?3c，整理得，故离心率 e??22aa3?cc222（2）解：由（1）知，b?a?c?2c，所以椭圆的方程可以写为2x?3y?6c
2222a2)即y?k(x?3c) 设直线AB的方程为y?k(x?c?y?k(x?3c)由已知设A(x1,y1)B(x2,y2)则它们的坐标满足方程组?2 22?2x?3y?6c消去y整理，得(2?3k)x?18kcx?27kc?6c?0
22222222依题意，??48c(1?3k)?0,?33?k? 3318k227k2c2?6c2,x1x2?而x1?x2?，有题设知，点B为线段AE的中点，所以222?3k2?3kx1?3c?2x2
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9k2c?2c9k2c2?2c2,x2?联立三式，解得x1?，将结果代入韦达定理中解得222?3k2?3kk??2 3(3)由（2）知，x1?0,x2?3c2，当k??时，得A(0,2c)由已知得C(0,?2c) 23c2c2c??(x?),直线l与x轴的交点(,0)是
2222线段AF1的垂直平分线l的方程为y?cc?AF1C的外接圆的圆心，因此外接圆的方程为(x?)2?y2?(?c)2
22?c29c22?(m?)?n?直线F2B的方程为y?2(x?c)，于是点H(m,n)满足方程组?24?n?2(m?c)?由m?0，解得m?5c22cn22，故? ,n?32m5当k?2n22时，同理可得? 3m5【考点定位】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，圆的方程等基础
知识。考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的思想，考查运算能力和推理能力。
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