第二章群论复习题
一、填空题
1、集合A的元间的关系～叫做等价关系，如果～适合下列三个条
件： 。
2、设～是集合A的元间的一个等价关系，它决定A的一个分类：?a?,?b?是两个等价类。则?a???b?? 。
3、设G是一个n阶交换群，a是G的一个m（m?n）阶元，则商群G?a?的阶
等于 。
4、设G=?a?是12阶循环群，则G的生成元是 。 5、S3的子群H???1?,?123?,?132??的一切右陪集 。 6、设H是群G的子群，a,b?G，则Ha?Hb? 。 7、设G=?a?是循环群，则G与模n的剩余类加群同构的充要条件是 。
8、设G=(a)是10阶循环群，则G的子群的个数为_________. 9、在5次对称群S5中，(13)(125)?_____,(15423)?1?______. 10、设G=(a)是15阶循环群，则G的子群的个数为_________.
11、整数加群Z是一个循环群，它有且仅有两个生成元是______和_____.
二、判断题
1、（ ）若A,B都是群G的子群，则A?B也是G的子群。 2、（ ）交换群的子群是循环群。 3、（ ）循环群的同态象是循环群。 4、（ ）一个阶是11的群只有两个子群。 5、（ ）有单位元且满足消去律的有限半群是群。 6、（ ）交换群的子群是不变子群。
7、（ ）全体整数的集合对于普通减法构成一个群 8、（ ）群G的指数是2的子群一定是不变子群。
三、计算题
1：将置换??(456)(567)(761)写成不相交循环置换的乘积，并求?的阶； 2：求三次对称群S3的所有子群。
2?n??13：计算置换????的奇偶性。
?nn?1?1?4、求解模20剩余类Z20的所有子群。
四、证明题
1：令G是实数对(a,b),a?0的集合，在G上定义(a,b)(c,d)?(ac,ad?bc)，
证明G是群
??abax?b??a,b,c,d?R,?1?，证明G关于变换的乘法构成群。2：设G??f(x)?
cdcx?d????3：令?是任意集合，G是一个群，G?是?到群G的所有映射构成的集合。对任意两个映射f,g?G?,定义乘积fg是这样的映射：?a?G,fg(a)?f(a)g(a),证明：G?是群。
4：对任意a?G,f:a?a?1是群G的自同构当且仅当G是交换群。
5、设a,b?G且ab?ba,a?m,b?n，记(a,b),[a,b]分别表示m,n的最大公因子与最小公倍数，则 (1) anbm?[a,b] (2) G中存在(a,b)阶的元 (3)G中存在[a,b]阶的元 (a,b)6、设a,b?G，证明：a与a?1，ab与ba含有相同的阶。
7、令G是实数对(a,b),a?0的集合带有乘法(a,b)(c,d)?(ac,ad?bc)的群，证明：
K?{(1,b)|b?R}是G的正规子群且G/K?R*，其中R*是非零实数乘法群。