dy?y?，有 dx11 dy?y?dx?p?(?2?)dp
pp1 ?(1?)dp
p 积分得 y?p?lnp?C
由基本关系式
得原方程参数形式通解为
1?x??lnp? ? p?y?p?lnp?C? 15．解 原方程可化为
(yy??x2)??0
于是 ydy?x2?C1 dx 积分得通积分为
121y?C1x?x3?C2 232 （6分） 16．解 对应齐次方程的特征方程为??5??0，
特征根为?1?0，?2?5，
齐次方程的通解为 y?C1?C2e5x 因为??0是特征根。所以，设非齐次方程的特解为
y1(x)?x(Ax2?Bx?C) 代入原方程，比较系数确定出 A? 原方程的通解为 y?C1?C2e5x112，B?，C?
2535?13122x?x?x 3525 17．解 先解出齐次方程的通解
?x??cost??sint? ???C1???C2?cost?
y-sint?????? 令非齐次方程特解为
x??~?cost??sint? ?~??C1(t)? ?C(t)2????y??-sint??cost???C1(t),C2(t)满足
?costsint??C1?(t)??1? ??????sint? ????sintcost???C2(t)????0?cost??,C2(t)?1 解得 C1(t)?sint积分，得 C1(t)?lnsint，C2(t)?t
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通解为
???C1?2?x??y??cost??sint??costlnsint?tsint??C??? 2????-sint??cost??-sintlnsint?tcost?18．解对应的齐次方程的特征方程为： ??1?0
特征根为： ?1?1,?2??1
故齐次方程的通解为： y?C1ex?C2e?x 因为??1是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为
y1(x)?Axex 代入原方程，有 2Ae?Axe?Axe? 故原方程的通解为 y?C1e?C2e19．解方程组的特征方程为 A??E?2x?xxxx1x1e， 可解出 A?． 24?1xxe 4?1???2?0
34??即 ??3??2?0
特征根为 ?1?1，?2?2 ?1?1对应的解为
?x1??a1?t ?????e
?y1??b1?其中a1,b1是?1?1对应的特征向量的分量，满足
?1?1?2??a1??0? ???? ???3?4?1??b1??0??可解得a1?1,b1??1．
同样可算出?2?2对应的特征向量分量为 a2?2,b1??3． 所以，原方程组的通解为
?et??2e2t??x? ???C1? ?C2?t?2t??y???e???3e?五、证明题
1．证明 设y?y(x)是方程任一解，满足y(x0)?y0，该解的表达式为
y(x)? 取极限
limy(x)?limx???y0ex?x0??y0xx0f(s)e(s?x0)dsex?x0
x???ex?x0??limx???xx0f(s)e(s?x0)dsex?x0
??0,若?f(s)e(s?x0)ds??x0? =0?? ?(x?x0)?(s?x0)?limf(x)e?0,若f(s)eds??x?x??x0?x???e02．证明 设y1(x)，y2(x)是方程的基本解组，则对任意x?(??,??)，它们朗斯基行列式在(??,??)
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上有定义，且W(x)?0．又由刘维尔公式 W(x)?W(x0)e??x0p(s)ds?x0p(s)dsxx，x0?(??,??)
W?(x)?W(x0)ep(x)
由于W(x0)?0，p(x)?0，于是对一切x?(??,??)，有 W?(x)?0 或 W?(x)?0
故 W(x)是(??,??)上的严格单调函数．
3．证明 由已知条件，方程在整个xoy 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件，因此，它的任一解都可延展到平面的无穷远。 （2分） 又由已知条件，知y?y0是方程的一个解。
假如方程的非常数解y?y(x)对有限值x0有limy(x)?y0，那么由已知条件，该解在点(x0,y0)处可向
x?x0?x0的右侧（或左侧）延展．这样，过点(x0,y0)就有两个不同解y?y0和y?y(x)．这与解的唯一性矛盾，因此x0不能是有限值．
4．证明 如果y??1(x)和y??2(x)是二阶线性齐次方程 y???p(x)y??q(x)y?0
的解，那么由刘维尔公式有 W(x)?W(x0)e 现在，p(x)?0故有
W(x)?W(x0)e?0dt??x0p(t)dt
x?x0x?W(x0)?C
5.证明 由已知条件，该方程在整个xoy 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件． 显然y??1 是方程的两个常数解．
任取初值(x0,y0)，其中x0?(??,??),y0?1．记过该点的解为y?y(x)，由上面分析可知，一方面
y?y(x) 可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过y?1，下方不能穿过y??1，否则与惟一性矛盾．故该解的存在区间必为(??,??)．
6．证明 由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存在区间都是(??,??)． 显然，该方程有零解y(x)?0．
?(x0)= 0，那么由解的 假设该方程的任一非零解y1(x)在x轴上某点x0处与x轴相切，即有y1(x0)?y1惟一性及该方程有零解y(x)?0可知y1(x)?0,x?(??,??)，这是因为零解也满足初值条件0，于是由解的惟一性，有?(x0)= y1(x0)?y1
y1(x)?y(x)?0,x?(??, ??)．这与y1(x)是非零解矛盾．
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