小学数学30种典型应用题讲解
应用题可分为一般应用题与典型应用题。
没有特定的解答规律的两步以上运算的应用题，叫做一般应用题。 题目中有特殊的数量关系，可以用特定的步骤和方法来解答的应用题，叫做典型应用题.
以下主要研究41类典型应用题： 1、近似值与估算问题 2、整除问题 3、余数、周期问题 4、空瓶子换水问题 5、还原问题 6、合理安排问题 7、最不利原则 8、逻辑问题 9、奇偶性问题 10、孙子问题及约束 11、棋盘的覆盖 12、归一问题 13、归总问题 14、和差问题 15、和倍问题 16、差倍问题 17、倍比问题 18、相遇问题 19、追及问题 20、植树问题 21、年龄问题 22、行船问题 23、列车问题 24、时钟问题 25、盈亏问题 26、工程问题 27、正反比例问题 28、按比例分配 29、百分数问题 30、“牛吃草”问题 31、鸡兔同笼问题 32、方阵问题 33、商品利润问题 34、存款利率问题 35、溶液浓度问题 36、构图布数问题 37、幻方问题 38、抽屉原则问题 39、公约公倍问题 40、最值问题 41、列方程问题 1. ★近似值与估算问题
在计数、度量和计算过程中，得到和实际情况丝毫不差的数值叫做准确数。但在大多数情况下，得到的是与实际情况相近的、有一定误差的数，这类近似地表示一个量的准确值的数叫做这个量的近似数或近似值。例如，测量身高或体重，得到的就是近似数。又如，统计全国的人口数，由于地域广人口多，统计的时间长及统计期间人口的出生与死亡，得到的也是近似数。
用位数较少的近似值代替位数较多的数时，要有一定的取舍法则。要保留的数位右边的所有数叫做尾数，取舍尾数的主要方法有：
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（1）四舍五入法。四舍，就是当尾数最高位上的数字是不大于4的数时，就把尾数舍去；五入，就是当尾数最高位上的数字是不小于5的数时，把尾数舍去后，在它的前一位加1。例如：7.3964…，截取到千分位的近似值是7.396，截取到百分位的近似值是7.40。
（2）去尾法。把尾数全部舍去。例如：7.3964…，截取到千分位的近似值是7.396，截取到百分位的近似值是7.39。
（3）收尾法（进一法）。把尾数舍去后，在它的前一位加上1。例如：7.3964…，截取到千分位的近似值是7.397，截取到百分位的近似值是7.40。
表示近似值近似的程度，叫做近似数的精确度。
在上面的三种方法中，最常用的是四舍五入法。一般地，用四舍五入法截得的近似数，截到哪一位，就说精确到哪一位。
例1有13个自然数，它们的平均值精确到小数点后一位数是26.9。那么，精确到小数点后两位数是多少？
分析与解：13个自然数之和必然是整数，因为此和不是13的整数倍，所以平均值是小数。由题意知，26.85≤平均值＜26.95，所以13个数之和必然不小于26.85的13倍，而小于26.95的13倍。
26.85×13＝349.05， 26.95×13＝350.35。
因为在349.05与350.35之间只有一个整数350，所以13个数之和是350。 350÷13＝26.923…
当精确到小数点后两位数时，是26.92。
例1中所用的方法可称为“放缩法”。对于一个数，如例1中13个数的平均数，如果不知道它的确切数值，那么可以根据题设条件，适当地将它放大或缩小，再进一步确定它的具体数值。当然，这里的“放大”与“缩小”都要适当，如果放得过大或缩得过小，则可能无法确定正确值，这时“放缩”就失败了。
分析与解：真正计算出这个算式，再取近似值，几乎是不可能的。因为题目要求精确到小数点后三位数，所以只要能大概知道小数点后四位数的情况就可以了。
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若分子缩小、分母扩大，则分数变小；若分子扩大、分母缩小，则分数变大。利用这一点，使用放缩法就能估计算式的值的范围。分子、分母各取两位小数，有
…由0.2037… ＜原式＜0.2549…，无法确定原式小数点后三位的近似值。缩放的范围太大，应使范围缩小些。
分子、分母各取三位小数，有
仍然无法确定，还应使范围缩小。 分子、分母各取四位小数，有
由 0.2395…＜原式＜0.2398…知，原式小数点后三位肯定是“239”，第四位在5和8之间。按四舍五入法则，精确到小数点后三位数的近似值是0.240。
由例2进一步看出“放缩”适度的重要性。取的位数少了，范围太大，无法确定；取的位数多了，例如取十位小数，计算量太大，繁琐且没有必要。
例3 求下式的整数部分： 分析与解：对分母使用放缩法，有
所以199.1＜原式＜200，原式整数部分是199。
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例4 求下式的整数部分：
1.22×8.03+1.23×8.02+1.24×8.01。
分析与解：在1.22×8.03， 1.23×8.02与1.24×8.01中，各式的两个因数之和都相等。当两个数的和一定时，这两个数越接近，这两个数的乘积越大，于是得到
1.22×8.03＜1.23×8.02＜1.24×8.01。 因为1.22×8.03＞1.22×8，所以 原式＞1.22×8×3=29.28； 因为 1.24×8.01＜1.25×8，所以 原式＜1.25×8×3=30。
由29.28＜原式＜30知，原式的整数部分是29。
前面讲过，四舍五入的方法是取近似值最常用的方法。但在实际问题中，一定要注意灵活运用，特别要注意有些问题不宜使用四舍五入的原则。
例5某人执行爆破任务时，点燃导火线后往70米开外的安全地带奔跑，其奔跑的速度为7米/秒。已知导火线燃烧的速度是0.112米/秒。问：导火线的长度至少多长才能确保安全？（精确到0.1米）
解：0.112×（70÷5） ＝0.112×10 ＝1.12≈1.2（米） 答：导火线至少长1.2米。
此题采用收尾法。如果你的答案是1.1米，执行任务的人还没跑到安全地带，炸药就被引爆，那可就太危险了。
例6某飞机所载油料最多只能在空中连续飞行4时，飞去时速度为900千米/时，飞回时速度为850千米/时。问：该飞机最远飞出多少千米就应返回？（精确到1千米）
解：设该飞机最远能飞出x千米，依题意有
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答：飞机最远飞出1748千米就应返回。
此题采用去尾法。如果按照四舍五入的原则，那么得到x≈1749，当飞机真的飞出1749千米再返回时，恐怕在快着陆的瞬间就要机毁人亡了。
2. ★整除问题 整除规律：
（1）被2整除：末尾位数字是0，2，4，6，8的数。
（2）被3（9）整除：各个位上的数字之和能被3（9）整除的数。 （3）被5整除：末尾位数字是0或5的数。
（4）被4（25）整除：末两位数能被4（或25）整除的数。 （5）被8（125）整除：末三位数能被8（或125）整除的数。 （6）被11整除：奇位数字和与偶位数字和之差能被11整除的数。 学过了乘法，我们知道，除法就是乘法的逆运算。所以要了解除法的规律，前提是对乘法的熟练。要熟练到什么程度呢，至少要熟练到看到一个被除数的末几位，尤其是最后一位时，至少能反应过来可能由谁乘谁得来。其次要对数字的有个基本的了解。
3. ★余数、周期问题
余数定比除数小，除数要从余数找； 四数关系须切记，尝试列举好技巧。 【专题导引】
我们已经学习了有余数的除法，都知道，在有余数的除法里，余数要比除数小。利用余数，可以解决许多有趣的实际问题，就看你会不会巧妙地应用余数了。
解答习题时，首先要把重复出现的部分作为一组，再想总数里有几个这样的一组。如果除了没有余数，说明某个物体（或数字）是一组中的最后一个；如果除了有余数，那么余数是几，某个物体（或数字）就是一组中的第几个，从而解
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