合肥一中
2018—2018学年度高三第一学期第一次月考
数 学 试 题（理）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。）
1．已知全集U?R，集合M?{x?2?x?1?2}和N?{xx?2k?1,k?1,2,}的关系的
韦恩（Venn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有
A．3个 B．2个
C．1个 D．无穷多个
（ ）
2．下列4个命题p1:?x?(0,??),()?()12x1xp:?x?(0,1),log1x?log1x 3，223
111p3:?x?(0,??),()x?log1x，p4:?x?(0,),()x?log1x
23223其中的真命题是
C．p2,p3
C．R
D．p2,p4
（ ） （ ）
A． p1,p3 B．p1,p4
3．函数f(x)?log1(x2?3x?2)的值域是
2 A(??,1)?(2,??) B（1，2） D上是增函数； ④
f?2??f?0?其中正确的判断是_____________
三、解答题（本大题共6题，共75分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
16．（本小题满分12分）
2已知p：x?A?x|x?2x?3?0,x?R,
??q：x?B?x|x2?2mx?m2?4?0,x?R,m?R
?? （1）若AB??0,3?,求实数m的值；
（2）若p是?q的充分条件，求实数m的取值范围．
17．（本小题满分12分）
已知函数
f(x),g(x)在
R
上有定义，对任意的x,y?R有
f(x?y)?f(x)g(y)?g(x)f(y) 且f(1)?0
（1）求证：f(x)为奇函数．
（2）若f(1)?f(2)， 求g(1)?g(?1)的值． 18．（本小题满分12分）
已知函数f(x)?x3?3ax2?3bx
（1）若a?1,b?0，求f?(2)的值；
（2）若f(x)的图像与直线12x?y?1?0相切于点(1,?11)，求a,b的值； （3）在（2）的条件下，求函数f(x)的单调区间． 19．（本小题满分13分）
（1）已知函数f(x)?x2?lnx?ax在（0，1）上是增函数,求a的取值范围； （2）在（1）的结论下,设g(x)?e2x?aex?1, x∈?0,ln3?,求g(x)的最小值． 20．（本小题满分13分） 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2?x)x万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．
（1）试写出y关于x的函数关系式；
（2）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？ 21．（本题满分13分）
已知函数f(x)?12ax?2x，g(x)?lnx 2 （1）如果函数y?f(x)在[1,??)上是单调增函数，求a的取值范围； （2）是否存在实数a?0，使得方程
1g(x)?f?(x)?(2a?1)在区间(,e)内有且只有两
ex个不相等的实数根？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题 1—5：CDBBB 二．填空题 11：145
6—10：CCBBC
511 51212：
?2,(2k???2,k?Z也可）
（0，）13：
3三、解答题 16．解：cos???
?14：0 15：③④
433,??(?,?),?sin???1?cos2??? 5251?13 tan???,??(,?)?sin??,cos???321010?cos(???)?cos?cos??sin?sin?
4331 ?(?)(?)?(?)551010
?310 1017．（1）易求d?2,an?2n （2）bn?32n?9n,b1?9
bn?19n?1??n?9（常数） bn9
??bn?是以9为首项和公比的等比数列
9(1?9n)9n?Sn??(9?1)
1?98
18．（1）f(x)?cos2x?3sin2x?a?1
?2sin(2x?)?a?1
6由2k????2?2x??6?2k??
?2得
k???3?x?k???6
?????f(x)的单调递增区间为?k??,k???,k?Z
36??0?x??2x? （2）
??2
??661????sin(2x?)?1
26?7? 6
??1?2sin(2x?)?2
6??f(x)max?2?a?1?4
?a?1
19．由f(x)为偶函数且过M（0,2），则f(?x)?f(x),A?2
则有2sin(??x??)?2sin(?x??),sin?xcos??0
?cos??0,??k???2(k?Z),又0????,????2
3又f(x)?2cos?x关于（?，0）对称
4333??f(?)?0,cos???0,???k??
4442412???(k?)(k?Z)又0???2,???或??2
32322又f(x)在?0，??为减函数，???，f(x)?2cosx
3320．（1）由ABCD为圆内接四边形，得?ABC??ADC?180，由余弦定理，
AC2?42?62?2?4?6cos?ABC?42?22?2?2?4cos?ADC ?cos?ABC?1,?ABC?60 2?SABCD?S
ABC?SADC?83(2)由（）推出1AC?27，?(3)SAPCDAC221?2R,R?
sin?ABC3?SADC+SAPC,令AP?x,CP?y,则
3xy4又AC2?x2?y2?2xycos60,x2?y2?xy?28SAPCD?23?由基本不等式得，xy?28,当且仅当x=y=27时取“?”号?SAPC最大
?73，?SAPCD最大?9321．（1）2f(x)?f()?6x?
13
xx162f()?f(x)??3x
xx可解得f(x)?3x
(2a)n?1?
3an111 ???2解得,an?6an?3an?1an2n?1
bn?n2?2n?2
2 （3）n?2n?2?1???3(2n?1)恒成立 3而0???1，?1??的最大值为1
n2?2n?2??1?n?3或n?1
2n?1?kmin?4