集合的概念讲义
知识要点：
一、集合的概念
1、定义：一般地，一定范围内某些确定的，不同的对象的全体构成一个集合，简称集。集合中每一个对象称为该集合的元素，简称元。
2、集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q?? 元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q?? 二、常用数集及记法
1、非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N，N??0,1,2,??
2、正整数集：非负整数集内排除0的集记作N*或N+ N*??1,2,3,??3、整数集：全体整数的集合记作Z , Z??0，?1，?2，?
4、有理数集：全体有理数的集合记作Q , Q??整数与分数? 5、实数集：全体实数的集合记作R R??数轴上所有点所对应的数? 三、元素对于集合的隶属关系
1、属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A
2、不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a?A 注意“属于”号?与“不属于”号?，使用时不可反过来写！“A－6”与“A8”的写法是错误的。
四、集合中元素的特性
1、确定性：a?A和a?A，二者必居其一，不能模棱两可．
集合中的元素必须是确定的．这就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了．
例：能够组成集合的是（ ）
A．与2非常接近的全体实数； B．很著名的科学家的全体； C．某教室内的全体桌子； D．与无理数?相差很小的数 2、互异性：若a?A，b?A，则a?b.集合中的元素是互异的．
这就是说，集合中的元素是不能重复的，集合中相同的元素只能算是一个。例如方程x2?2x?1?0有两个重根x1?x2?1，其解集只能记为｛1｝，而不能记为｛1，1｝。 3、无序性：｛a，b｝和｛b，a｝表示同一个集合．
集合中的元素是不分顺序的．集合和点的坐标是不同的概念，在平面直角坐标系中，点（l，0）和点（0，l）表示不同的两个点，而集合｛1，0｝和｛0，1｝表示同一个集合。 五、集合的表示方法
1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合 例如，由方程x2?1?0的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1} 用列举法表示集合时应注意以下四点： ①、 元素间用分隔号“，”； ②元素不重复； ③不考虑元素顺序；
④对于含有较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必须把元 素间的规律显示清楚后方能用省略号。如：从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53，?，100}；所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，?}
2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法 （1）格式：{x∈A| P（x）}
1
（2）含义：它表示集合A由具有性质p(x)的所有元素构成的。其中x为该集合中元素的代号，它表明了该集合中的元素是“谁”，是“什么”；p(x)为该集合中元素所具有的特征。 如：不等式x?3?2的解集可以表示为：{x?R|x?3?2}或{x|x?3?2} （3）在使用该方法是应注意以下六点：
①写清楚该集合中元素的代号 ②说明该集合中元素的特征；
③不能出现未被说明的字母； ④多层描述时，应当准确使用“或”、“且”、“非”； ⑤所有描述的内容都要写在大括号内；⑥用于描述的语言要力求简明、确切。 注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分如：{直角三角形}；{大于104的实数} （2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}
3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法 4、何时用列举法？何时用描述法？
（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法如：集合{x2,3x?2,5y3?x,x2?y2}
（2）有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法 如：集合{(x,y)|y?x2?1}；集合{1000以内的质数} 六、集合的分类：
1、有限集：含有有限个元素的集合 2、无限集：含有无限个元素的集合 3、空集：特别地，不含任何元素的集合叫做空集，记作?．空集是个特殊的集合，空集归 入有限集。如：{x?R|x2?1?0}。
题型讲解：
例1：用符号“?”或“?”填空．
11（1）0___N,?1___N,3___N,___N； （2）0___?,?___Q,?___Q,2___R；
32?(x,y)y?x?1? （3）3___?xx?2?； （4）(1,2)____解：（1）?,?,?,?。 （2）?,?,?,?。（3）∵2?2， ∴3??xx?2?．
(x,y)y?x?1?表示直线y?x?1上的点集，故 （4）点（1，2）在直线y?x?1上，而?(1,2)??(x,y)y?x?1?．
例2：用适当的方法表示下列集合，然后说出它是有限集还是无限集． （1）由所有非负奇数组成的集合；
（2）由所有小于20的既是奇数又是质数的数组成的集合； （3）平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合； （4）方程x2?x?1?0的实数根组成的集合；
（5）由所有周长等于10cm的三角形组成的集合． 解：（1）由所有非负奇数组成的集合可表示为?xx?2n?1,n?N?．因N是无限集，故非负奇数集是无限集．
（2）因为只有2是偶质数，小于20的奇质数有3，5，7，11，13，17，19，所以所求集合是?3,5,7,11,13,17,19?，共有7个元素．故是有限集．
因第二象限的点有无数个．故是无限集．
（4）因方程x2?x?1?0的判别式???3?0故无实数根，所以方程x2?x?1?0的实数根组成的集合是空集?．故是有限集．
2
(x,y)x?0且y?0?，（3）第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0．所以所求集合可表示为?（5）由所有周长等于10cm的三角形组成的集合可表示为xx是周长等于10cm的三角形，因符合条件的三角形有无数个，故是无限集． 例3：用列举法表示下列集合．
（1）不大于10的质数集合； （2）｛x|2?x?9，x为偶数｝．
分析：集合表示法有两种：列举法和描述法，列举法通常在有限集，而且集合元素个数较少时采用．利用列举法将集合所有元素都列举出来，要注意集合元素的互异性． 解：（1）不大于10的质数集合是｛2，3，5，7｝．
（2）2?x?9，又∵x为偶数，∴x为2、4、6、8．答案为｛2，4，6，8｝． 例4：用描述法表示下列集合． （1）正偶数集合；（2）被3除余1的整数集合；（3）坐标平面内不在第一、三象限的点集． 分析：集合描述法是将集合元素的基本特征利用文字或数学表达时表示出来． 解：（1）?x|x?2n,n?N??； （2）?x|x?3n?1,n?Z?； （3）?(x,y)xy?0?． 例5： 以下说法中正确的个数有（ A ）
①M??(1,2)?与N??(2,1)?表示同一个集合； ②M??1,2?与N??2,1?表示同一个集合； ③空集是唯一的； ④M?yy?x2?1,x?R与N?xx?t2?1,t?R，则集合M?N。 A、3个 B、2个 C、1个 D、0个
分析：①集合M表示由点（1，2）组成的单点集，集合N表示点（2，1）组成的单点集． ②由集合元素无序性可知M，N表示同一个集合．
③由?1??2且?2??1（其中?1、?2均为空集）由集合相等定义可知?1??2即证明空集唯一性．
④对于要认识一个集合，应从以下方面入手①判断集合元素是什么；②元素有何属性（如表示数集，点集等），表示集合时与代表元素采用的字母无关．而④中的集合都表示大于等于1的实数组成的集合，故相等，
??????随堂演练：
3