湖北省 八校
2016届高三第二次联考
数学试题（理科）
命题学校：黄冈中学 命题人：冯小玮 袁小幼 审题人：范裕龙
注意事项：
1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上．
2．回答第I卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
华师一附中 黄冈中学 黄石二中 荆州中学 襄阳四中 襄阳五中 孝感高中 鄂南高中
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A?{xx2?2x?3?0},B?{xy?ln(2?x)}，则A?B?( )
A．(1,3) B．(1,3] C．[?1,2) D．(?1,2)
?432．若复数z?(cos??)?(sin??)i是纯虚数（i为虚数单位），则tan(??)的值为( )
455A．?7
B．? C．7
71 D．?7或?
713．在各项均为正数的等比数列{an}中，a1?2,且a2,a4?2,a5成等差数列，记Sn是数列{an}的前n项和，则S5? ( )
A．32 B．62 C．27 D．81
??4．已知函数f(x)?sin(?x??)(??0,??)的最小正周期为?，且其图像向左平移个单
32位后得到函数g(x)?cos?x的图像，则函数f(x)的图像( )
A．关于直线x??12对称 B．关于直线x?5?对称 12?5?C．关于点(,0)对称 D．关于点(,0)对称
12125．甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为( ) A．
110211 B． C． D．
3346．已知定义在R上的函数f(x)满足f(?x)??f(x)，f(x?1)?f(1?x)，且当x?[0,1] ）时,f(x)?log2(x?1,则f(31)= ( )
A．0 B．1 C．?1 D．2 7．若如下框图所给的程序运行结果为S=41，则图中的判断框①中应填入的是( )
1
A．i?6? B．i≤6? C．i?5? D．i?5?
8．有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获
得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 9．设F1,F2为椭圆
x29?y25点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则?1的两个焦点，
PF2PF1的值为( ) A．
514 B．
513 C． D．
9945?4x?y?8≥0?10．已知变量x,y满足?x?y?5≤0,若目标函数z?ax?y(a?0)取到最大值6，则a的值
?y?1≥0?为( )
A．2 B．
55 C．或2 D．?2 4411．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某
多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为( ) A．8? B． C．12? D．
252414?
?
12．已知直线x?9y?8?0与曲线C:y?x3?px2?3x相交于A,B,且曲线C在A,B处的切线
平行，则实数p的值为( )
A．4 B．4或?3 C．?3或?1 D．?3
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．已知m?3?sinxdx，则二项式(a?2b?3c)m的展开式中ab2cm?3的系数为 ．
0????????1???EBD?14．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点D为AC中点，点E满足BE?BC，则A3
＝ ．
x2y215．已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的渐近线被圆x2?y2?6x?5?0截得的弦长为2，则
ab该双曲线的离心率为 ．
16．已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n?N?，Sn?(?1)nan?
2
1?n?3且 2n(t?an?1)(t?an)?0恒成立，则实数t的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足
2bsin(C??6)?a?c．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若点M为BC中点，且AM?AC，求sin?BAC．
18．(本小题满分12分)某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校
200名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如下表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟） 平均每天锻炼 [0,10) 的时间（分钟） 总人数 20 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) 36 44 50 40 10
将学生日均课外课外体育运动时间在[40,60)上的学生评价为“课外体育达标”． （Ⅰ）请根据上述表格中的统计数据填写下面2?2列联表，并通过计算判断是否能在犯 错误的概率不超过0.01的前提下认为 “课外体育达标”与性别有关？
课外体育不达标 课外体育达标 20 合计 110 男 女 合计
（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该校高三学生中，抽取3名学生，记被抽取的3名学生中的“课外体育达标”学生人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的数学期望和方差． 参考公式：K2=n?ad?bc?2?a?b??c?d??a?c??b?d?0.10 2.706 ，其中n?a?b?c?d.
参考数据： 2P?K≥k0? k0 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828
19．(本小题满分12分)已知四棱锥P?ABCD,底面ABCD是直角梯形， ?ABM是边长为2的等边三角AD∥BC,?BCD?90?,PA?底面ABCD，形，PA?DM?23．
（Ⅰ）求证：平面PAM?平面PDM；
3
E
（Ⅱ）若点E为PC中点,求二面角P?MD?E的余弦值．
20．（本题满分12分）已知抛物线x2?2py上点P处的切线方程为x?y?1?0． （Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设A(x1,y1)和B(x2,y2)为抛物线上的两个动点，其中y1?y2且y1?y2?4，线段AB的垂直平分线l与y轴交于点C，求?ABC面积的最大值．
21．（本题满分12分）已知函数f(x)?xlnx?a(a?0)． x?1（Ⅰ）当x?(0,1)时，求f(x)的单调性；
（Ⅱ）若h(x)?(x2?x)?f(x),且方程h(x)?m有两个不相等的实数根x1,x2．求证： x1?x2?1．
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请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22．(本小题满分10分) 选修4-1 ：几何证明选讲
如图，在锐角三角形ABC中，AB?AC，以AB为直径的圆O与边 BC,AC另外的交点分别为D,E，且DF?AC于F． （Ⅰ）求证：DF是⊙O的切线；
7 （Ⅱ）若CD?3，EA=，求AB的长．
5
23．(本小题满分10分) 选修4-4 ：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的直角坐
??标为(1,2)，点M的极坐标为(3,)，若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆
26心，3为半径．
（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程； （Ⅱ）设直线l与圆C相交于A,B两点，求PA?PB．
24．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
已知函数f(x)?x?2?x?4?m的定义域为R．
（Ⅰ）求实数m的范围；
（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a,b满足
41 ??n时，求4a?7b的最小值．
a?5b3a?2b 4
湖北省八校2016届高三第二次联考
理科数学试题答案及评分参考
一、选择题
1．C 2．A 3．B 4．C 5．D 6．C 7．C 8．D 9．B 10．B 11．D 12．B 二、填空题
13．?6480 14．?2 15．三、解答题
17．解答：（Ⅰ）2sinB(sinC?31?cosC?)?sinA?sinC， 22311? 16．??,? ?2?44?6即3sinBsinC?sinBcosC?sinA?sinC?sinBcosC?cosBsinC?sinC，
?3sinBsinC?cosBsinC?sinC，
?3sinB?cosB?1，所以2sin(B??)?1，得B??． ………6分
63（Ⅱ）解法一：取CM中点D,连AD,则AD?CM,则CD?x，则BD?3x， 由（Ⅰ）知B??3，?AD?33x,?AC?27x，
由正弦定理知，
4x27x21?sin?BAC?，得. ………12分
sin?BACsin60o7解法二：由（Ⅰ）知B??3在?ABM与?ABC中，由余弦定理分别得：
2，又M为BC中点，?BM?MC?a， 2a2aa2ac2AM?()?c?2??c?cosB??c2?,2242AC2?a2?c2?2ac?cosB?a2?c2?ac,
a2ac3a7?c2??a2?c2?ac,?c?,?b?a， 又AM?AC，?42227aa2，得sin?BAC?21. 由正弦定理知，?7sin?BACsin60o18 ．解答：（Ⅰ） 课外体育不达标 男 女 合计 60 90 150 课外体育达标 30 20 50 合计 90 110 200 K=
2200??60?20?30?90?150?50?90?1102?200?6.060?6.635, ………5分 335