图形中的规律
思考和提出的问题
⒈“图形中的规律”是要让学生学什么呢？
⒉怎样以“数形结合”为主线，借助形来研究数的规律，从而积累探究规律及解决问题的经验，发展学生的思维能力？
⒊教学过程中怎样让学生经历积累数学活动经验，并感悟数学思想方法？
磨课要点
⒈起点。
知识起点：学生已经学会了按规律接着画，按规律填数，会探索一组算式背后的规律，能接着写出后面的算式和结果等知识。
已有生活认知：在生活和数学中，存在着大量的有规律的事物，以及事物变化趋势的问题，这些问题的解决没有现成的固定的方法，更多的是要通过探索、归纳、猜想、解释、验证得到结果。
思维特点：“图形中的规律”旨在让学生经历一个直观操作、探索发现的过程，体验发现规律的方法，发展学生的数学思维能力。五年级学生正处于从具体到抽象的过渡的思维阶段，如何顺利把握知识的要点，提升思维尤为关键。
⒉终点。从不同的角度观察、思考，发现图形中的规律。
⒊过程与方法。让学生在活动中学数学，在活动中探究规律。经历“观察---猜测----验证----应用”的过程来探索规律，采用活动法、观察法、分析比较法和讨论法等。在教学中，充分贯彻主体性原则，注重引导学生去获得成功的体验。让学生用准确地语言描述自己探究发现的过程，从而找到图形中的规律。
教学内容：《义务教育教科书·数学》（北师大版）五年级上册97页。 教学目标
⒈经历直观操作、探索的过程，体验发现连接三角形规律的方法，并能用语言或算式表示所发现的规律，初步感悟数形结合及模型思想。
⒉体会化难为易的思考方法（化归思想），学会从不同的角度观察、思考，探索发现连接图形的不同规律。
⒊应用探索的规律来解决实际问题，在活动中感受探究的乐趣和学习数学的价值，积累探索规律及解决问题的经验。
教学重点：经历在操作中探索连接三角形中的规律这一过程，能用语言
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描述或算式表示规律。
教学难点：从不同的角度观察、思考，探索发现连接图形的不同规律。 教学准备
教具：自制PPT课件、小棒。 学具: 小棒、表格。
教学过程
一、谈话引入
师：今天老师要和大家一起来玩个游戏，看看男生和女生谁的记忆力好？ （出示两组数字）
师：现在有没有同学来试一试，看看谁记得快？ 生：
师：为什么男同学举手的很少女同学很多呢？
生：（不公平，女生记的数简单，有规律）。板书（规律）
师：没错，女生记得这些数字是有规律的。因为有了规律，所以你们就觉得很简单。其实，不但在数字之间可以有规律，数学图形中也存在着许多的规律，这节课老师就带领大家一起去探索图形中的规律！ 板书：（图形中的规律）
出示情境提出问题：50个三角形需要多少根小木棍？
【设计意图：教材上出现的问题是摆10个三角形需要多少根小棒？我将10个改成了50个，数字变大了，目的是让学生一时之间没办法说出结果，从而产生探究规律的强烈需求。并让学生体会在解决复杂的问题时，一般从简单的问题入手，找出规律后再解决复杂的问题。从而积累探索规律及解决问题的经验，在活动中感受探究的乐趣和学习数学的价值。】
二、操作探究，探索规律 ⒈动手操作，初探规律。
师：50个三角形需要多少根小棒？对于这个问题你有什么感想呢？ （总结：太多了，难，复杂）
师：在数学学习中当我们遇到困难的问题时，我们要学会化繁为简、化难为易，这个问题很复杂，那我们就把它变得简单一点。50个不好求，那我们来算一算10个三角形需要多少小棒？谁能快速的说出来？ 生：
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师：举手的人还是很少，说明问题还不够简单，那我们再简单一点。一个三角形需要多少小棒？
生：3根小棒。（老师摆给学生看，并记录1个三角形3根小棒） 师：那两个三角形需要多少小棒？
生：5根小棒。（记录2个三角形5根小棒） 师：为什么是5根不是6根呢？
生：因为有一条边重合了（重合边）。（学上表达不清时教师适当引导。） （所以只需要再增加两根小棒就可以得到一个三角形）
师（一边摆一边带领学生记录）：3个三角形用7根小棒；4个三角形用9根小棒……
师：现在老师想知道10个三角形要用多少根小棒，可是这里没有小棒了，没办法数出来了，谁还能告诉老师应该用多少根小棒？ ※拿出你们的学习卡，完成表格。想一想，算一算。
出示表㈠。
三角形的个数 摆成的图形 1 2 3 4 … 10 … 小棒的根数 我的发现 … … ⑵学生动手探索规律，老师进行指导。
【设计意图：让学生通过摆小棒的直观操作，经历观察探索发现的过程，体验发现图形中规律的方法。】
⒉反馈交流，观察发现。
谁来说一说10个小三角形需要用多少小棒？你是怎么算出来的？ 为什么这么算，请你解释一下。
你能用一个算式就把你发现的规律表示出来吗？ 还有人使用了其他方法吗？
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预设1：一形不变法
第一个三角形以外每增加一个三角形就需要两根小棒，增加几个三角形就需要几个2,10个三角形比一个三角形增加了9个三角形，所以增加了9个2.所以列式为：3+2×9=21，所以求11个三角形需要多少小棒列式是3+2×10,12个呢？ 20呢？n个三角形呢？3+2×（n-1）
小棒的根数= 3+2×（三角形的个数?1） 预设2：减重复边法
两个三角形有一条重复边所以用3×2-1根小棒，三个三角形有两条重合边所以用3×3-2根小棒四个三角形有三条重合边用3×4-3……所以10个三角形用3×10-9=21根小棒，n个三角形用3n-（n-1）
3×三角形的个数?重复的根数= 小棒的根数
※预设3：一边不变法（有学生说让学生解释，没有学生讲，老师来引导） 将之前得到的3+2×（n-1）和3n-（n-1）化简可以得到2n+1（1+2n）， 有没有同学能解释一下这个规律。
原来是1根小棒，每组成一个三角形就需要增加两根小棒，所以1个三角形是1+2×1=3,2个是1+2×2=5,10个是1＋2×10=21，n个是1+2n
小结：刚才我们从不同的角度观察、思考，发现了连接三角形的个数和小棒根数之间的规律。
【设计意图：不同的学生，他们的认知水平、观察发现能力也不一样，观察事物的角度也不一样，探索的规律也不一样。通过展示交流，并有机地进行板书，起到了顺学而导的作用，让学生亲历 “数形结合”的分析过程，发展学生的思维能力。让学生亲身经历从具体形象表示——数学语言描述——抽象归纳出字母式子这一符号化、形式化的建模过程，让学生感悟到数形结合、一一对应、抽象归纳等数学思想，促进学习的正迁移。】
⒊应用规律解决问题
（1）师：现在我们已经发现了规律，那么50个三角形需要多少根小棒你会算了吗？100个三角形呢？
（2）一共有37根小棒，能摆多少个这样的三角形？你会算吗？请动笔试一试。37-3=34, 37-1=36 2n+1=37
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34÷2=17,
17+1=18； 36÷2=18；
【设计意图：在探索了连接三角形的规律后，应用规律来解决问题，同时也是对规律的验证。】
三、运用规律，拓展应用
一张桌子可以坐6人，两张桌子可以坐10人。5张呢？10张呢？ 50人用餐，需要摆多少张桌子？
【设计意图：让学生经历将生活问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，使学生在数学化的思考活动中应用模型，培养学生的创新意识和实践能力，体会学习数学的价值。】
四、反思内化，总结提升
⒈回顾一下，这节课我们一起研究了什么问题？谁来说说你有什么收获？你是怎样学会研究图形中的规律的？
⒉总结：通过今天的学习，我们知道了遇到复杂的问题，从简单的入手开始研究。从不同的角度观察思考，发现连接图形中的规律。老师相信只要大家善于观察、用心思考，我们就能发现生活中更多的图形与数的规律。
【设计意图：让学生回顾学习过程，对学习过程进行系统化、条理化的归纳，形成一个完整的知识认知体系，并提升学习方法。】
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